この問題で一番良いと思う解法を教えて下さい。

AC＝3、AB＝4である三角形の内部(周上を除く)に点Pがあり、∠APB＝∠APC,PB＝2PCを満たしているとき、PC＝xとしてx＾2をaを用いて表せ。またaの範囲を求めよ。
これは月刊大数の学コンの問題です(提出期限は過ぎました)。ちなみに答えはx＾2＝49＋a＾2/51－a＾2,1<a<21なはずです。様々な解法が考えられますがぜひ意見を聞かせてください！

質問者からの補足コメント

• ごめんなさいaはBCです……

    補足日時：2019/05/11 22:21

• 是非自身で一度解いた上で解答してほしいです。余弦定理でも確かに解けますが一筋縄ではいきません。ただ解いてほしいのではなく一番良いと思う解法を示して欲しいのです

    補足日時：2019/05/11 22:26

No.1 回答者： koji25 回答日時： 2019/05/11 20:57

aはBCですか?そうだとしたら

x^2は普通に余弦定理でいいんじゃないですかね

aはx^2が正になる条件などからいけるんじゃないですか?

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/12 02:04

一番良い解答が何かなんて知らないが、フツーに余弦定理で処理してみる。

AP = y, ∠APB = ∠APC = θ と置くと、
P が △ABC の内部にあるという条件は、π/2 < θ < π と表される。　　…[0]
△APB での余弦定理 4^2 = y^2 + (2x)^2 - 2y(2x)Cosθ,　　…[1]
△APC での余弦定理 3^2 = y^2 + x^2 - 2yxCosθ,　　　　　　　　…[2]
△APB での余弦定理 a^2 = (2x)^2 + x^2 - 2(2x)xCos(2π-2θ).　　…[3]
が a,x,y,θ　を特徴づける。
[1][2]から y^2 を消去して、 Cosθ = (3x^2 - 7)/(2xy),　　…[4]
[1][2]から Cosθ を消去して、 y^2 = 2x^2 + 2.　　　　　　　　　　…[5]
[1]かつ[2]　⇔　[4]かつ[5]　である。

[3]へ[4]を代入すると、
a^2 = (x^2){ 4 + 1 - 4( 2(Cosθ)^2 - 1 ) }
= (x^2){ 9 - 8(3x^2 - 7)^2/(2xy)^2 } = 9x^2 - 2(3x^2 - 7)^2/y^2.
これへ[5]を代入すると、
a^2 = 9x^2 - 2(3x^2 - 7)^2/(2x^2 + 2) = (51x^2 - 49)/(x^2 + 1).　　…[6]
これを x^2 について解けば、
x^2 = (49 + a^2)/(51 - a^2).
ここまでは造作もない。

面倒くさいのは後半。
[4][5]を使って[0]を x^2 の範囲に翻訳し、[6]へ入れればよいのだが...
[0]を満たす θ が存在する　⇔　-1 < Cosθ < 0.
これと[4]　⇔　-2xy < 3x^2 - 7 < 0　⇔　y > (7 - 3x^2)/(2x) かつ x^2 < 7/3.
これと[5]　⇔　x^2 < 7/3 かつ y > (7 - 3x^2)/(2x) かつ y^2 = 2x^2 + 2
⇔　x^2 < 7/3 かつ 1 < x^2 < 49
⇔　1 < x^2 < 7/3.
x^2 がこの範囲の値をとるとき、[6]より 1 < a^2 < 21.

No.3 回答者： koji25 回答日時： 2019/05/12 06:51

余弦定理以外で思いつくのはトレミーの定理ですね...

ただ三角形を2つ重ねた4角形が外接円を持つとも限らないので
やっぱり余弦定理がベストだと思います