次の関数の第n次関数をライプニッツの公式を用いて求めよ。 y=x/1-x この問題が分かりません。

次の関数の第n次関数をライプニッツの公式を用いて求めよ。
y=x/1-x

この問題が分かりません。
どのように解けば良いでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/23 16:17

「どのように解けば」って...

問題文に「ライプニッツの公式を用いて」と
指定されているじゃありませんか。

(d/dx)^n y = (d/dx)^n x・(1-x)^-1
= Σ[k=0..n] (nCk){ (d/dx)^k x }{ (d/dx)^(n-k) (1-x)^-1 }　←これがライプニッツの公式
= (nC0){ x }{ (d/dx)^n (1-x)^-1 } + (nC1){ 1 }{ (d/dx)^(n-1) (1-x)^-1 } + 0
= x (d/dx)^n -(x-1)^-1 + n (d/dx)^(n-1) -(x-1)^-1,

(d/du)^n u^-1 = (-1)^n・n!・u^(-1-n) なので、　←[*]

(d/dx)^n y = (-x) (-1)^n・n!・(x-1)^-(n+1) + (-n) (-1)^(n-1)・(n-1)!・(x-1)^-n
= (-1)^n・n!・{ - x + (x-1) }(x-1)^-(n+1)
= (-1)^(n+1)・n!・(x-1)^-(n+1)
となります。

もっとも、この計算にライプニッツの公式を使うことは
どーかしていて、普通に
y = x/(1-x) = -1 - 1/(x-1) から[*]に持ち込めば
はるかに簡単に処理できます。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/23 16:21

y を 1 と -1 - 1/(x-1) の積と考えて

「ライプニッツの公式を用い」たら、怒られるのかなあ...