ベクトルpの軌跡の問題で

注意　ベクトルの記号→がついているものとして書きます（ABならベクトルABの意味）

ベクトルpの軌跡の問題で
座標平面上の三角形ABC　（角度BACは直角とする）がある。任意の点P
をとりその時　（3×AP×AP）ー{２×（AB+AC）×AP}＝０　を満たすときPはどういう
図形になるかという設問があります。
変形すると
（3×AP×AP）＝{２×（AB+AC）×AP}
私の計算では両辺ﾍﾞｸﾄﾙAPで割って（ﾍﾞｸﾄﾙの演算法則で括ったりすることができるはずなので）
3×AP＝２×（AB+AC）よってAP＝（2/3）×（AB+AC）
つまりPはABとACの合成したベクトルAD（仮にADとすると）
（ADはAB、ACでできる平行四辺形の対角線になると思いますが）
の2/３倍の地点になると思います。

ところが解答では与式をまず３で割って、平方完成にするため
（AP×AP）ー{（２/3）×（AB+AC）×AP}＝０　ここでAB+ACをADの半分のベクトル
　仮にAM（AB+AC＝2AM）
として（AP×AP）ー{（４/3）×AM×AP}＝０
{AP－（２/3）×AM}^2　－　（4/9）AM×AM＝０
{AP－（２/3）×AM}^2　＝（4/9）AM×AM
{AP－（２/3）×AM}^2　＝（２/３)^2 × AM^2
|AP-（２/3）×AM|^2 = |2/3×AM|^2
|AP-（２/3）×AM |=| 2/3×AM|
AMの2/3地点をNとすると
|AP－AN|　＝|AN| つまりこれはＮを中心とする半径ANの円周になる。

これは理解できるのですがなぜ私の（単純な式）解答ではうまく
導き出せばいのでしょうか

少し長いですがどなたかご教授お願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 掛け算はすべて内積です。外積はこの問題では出てきません。

    補足日時：2019/06/06 14:09

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/06 14:45

そうだろうとは思ったけれど、長文なので一応聞いてしまいました。

すみません。ちなみに（APｘAPは外積で、決して内積ではないという事は知っていますよね）

「∠A=９０
3AP・APー｛２(AB+AC)・AP}＝０　を満たすときPはどういう
図形になるか
変形すると
3AP・AP＝｛２(AB+AC)・AP}・・・①
私の計算では両辺ﾍﾞｸﾄﾙAPで割って（ﾍﾞｸﾄﾙの演算法則で括ったりすることができるはずなので）
3AP＝２(AB+AC）よってAP＝（2/3）（AB+AC）」
これは間違い！
そもそも、ベクトルの割り算は定義されていませんから・・・
内積定義から
内積→AP・→AP=|→AP||→AP|cos0°＝|→AP|²
内積(→AB+→AC)・→AP=|→AB+→AC||→AP|cosθ　（θ=は(→AB+→AC)と→APのなす角）
よって両辺|→AP|で割ろうというなら、
|→AP|≠０の場合3|→AP｜＝2|→AB+→AC||→AP|cosθ
です。cosθが残ります
また、→APで割ろうとすると
例えば左辺、3(→AP・→AP)/→APが意味するものとは何か、考えても定まらないと思います。

この回答へのお礼

そういうことですか！割り算は定義されてないのですね。
ベクトルの演算の法則をあまり理解できていませんでした。
よくわかりました。少し長い文章読んで頂きありがとうございます。

お礼日時：2019/06/06 14:54

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/06 14:52

＃２補足

要点は割算が定義されていない以上
→a・→b=→a・→cなら→b=→cとはならないという事です
従って
AP＝（2/3）（AB+AC）　は間違っているので正しい答えに結びつかないのです

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/06 14:00

AP×APて外積ですか？それとも内積の事？

まずはそこからはっきりさせてください

この回答へのお礼

すいませんでした。内積です。

お礼日時：2019/06/06 14:07