ｎは整数とする。 x＞0において定義された微分可能関数yでy′＝ x^n logxなるものを全て求め

ｎは整数とする。
x＞0において定義された微分可能関数yでy′＝
x^n logxなるものを全て求めよ

教えてください、お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/17 01:30

dy/dx = f(x) という形の方程式は

微分方程式の中で最も易しいグループであり、
その解は y = ∫f(x)dx であると判っています。

この問題の場合、y = ∫(x^n)(log x)dx です。　←[1]

n = -1 のとき、
∫(x^n)(log x)dx = ∫(1/x)(log x)dx = ∫(log x)’(log x)dx = (1/2)(log x)^2 + C　(Cは定数).

n ≠ -1 のとき、
∫(x^n)(log x)dx = ∫(1/(n+1))(x^(n+1))’(log x)dx = (1/(n+1))(x^(n+1))(log x) - ∫(1/(n+1))(x^(n+1))(log x)’dx
= (1/(n+1))(x^(n+1))(log x) - (1/(n+1))∫(x^n)dx
= (1/(n+1))(x^(n+1))(log x) - (1/(n+1))(1/(n+1))(x^(n+1)) + C　(Cは定数)
= (1/(n+1))(x^(n+1))(log x) - (1/(n+1)^2)x^(n+1) + C.

ここまで計算しなくても、[1]の時点で... 以下同文。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/16 13:16

場合分けが必要です。

n≦-2のとき：
n=-k(k≧2)とすると、

∫x^n logx dx
=∫x^(-k) logx dx
=∫(logx/x^k)dx

t=logxとすると、
x=e^t
dx=e^t dt

=∫(t/(e^t)^k) e^t dt
=∫t/(e^t)^(k-1) dt
=∫t e^(1-k)t dt
(1/(1-k))t e^(1-k)t + (1/(1-k))∫e^(1-k)t dt
=(1/(1-k))t e^(1-k)t + (1/(1-k)^2)e^(1-k)t + C
=(1/(n+1))x^(n+1) logx + (1/(n+1)^2)x^(n+1) +C
=(((n+1)logx + 1)x^(n+1)/(n+1)^2) + C（C：積分定数、以下同様）

n=-1のとき：
∫x^(-1) logx dx
=∫logx/x dx

t=logxとすると、
x=e^t
dx=e^t dt

=∫(t/e^t) e^t dt
=∫t dt
=t^2/2 + C
=((logx)^2/2) + C

n=0のとき：
∫logx dx
=(1/x) + C

n≧1のとき：
∫x^n logx dx
=(1/(n+1))x^(n+1) logx - (1/(n+1))∫x^n dx
=(1/(n+1))x^(n+1) logx - (1/(n+1)^2)x^(n+1) + C
=(((n+1)logx - 1)x^(n+1)/(n+1)^2) + C