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数Aの円順列のことで質問があります。

先生2人、生徒4人が円卓に向かって座るとき、先生2人が向かい合う座り方は何通りあるか。
という問題で、解説に「1人の先生の席を固定して考えると、もう1人の先生の席は1通りに決まる」と書いてありました。

確かにそうですが、なぜ先生の座り方が1通りなのかわかりません。先生の座る場所を逆にすれば2通りになると思ったのですが。
なぜ1通りになるのですか?

質問者からの補足コメント

  • 数Aの考え方が私にとっては難しいです。
    問題を見ると頭が真っ白になって、何からやればいいのかわからなくなってしまいます。
    何度もワークをやって解き方を覚えるしかないのでしょうか?
    考え方のコツとかってあったりしますか?

      補足日時:2019/06/20 19:11

A 回答 (2件)

先生Xに先に着席してもらい、その席から時計回りに1,2,3,4,5,6と席番号をふります。


先生2人が向かい合うのなら、先生Yの席は4番です。
残った2,3,5,6の席に生徒A,B,C,Dが着席する座り方を数えればいいので、4!通りです。

あなたが気にしているのは、先生Yが1番、先生Xが4番の席に座る場合ですね? その場合、
例えば YABXCD という席順は、先生Xが1番に座る XCDYAB と同じ並び方なので
1通りの座り方と数えているのです。
先生Xの席に注目すると、Xの席を1番に固定して考えるということは、 XCDYAB という座り方を
Xが2番の席にくる BXCDYA や Xが3番の席にくる ABXCDY と同一視して考えるということ
なので、そこでは YABXCD は、Yが1番にくるというより Xが4番にくる座り方として、
あらかじめ XCDYAB と同一視されていたのでした。
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この回答へのお礼

なるほど!ありがとうございます。

お礼日時:2019/06/20 21:51

先生をA,B、生徒をCDEFと名付けます


円順列とは、席の位置は実は関係ありません
あくまでも並び順が問題になります
問題のような並び方の1例は
時計回りにACDBEFと言う順で円形に並ぶ方法です
これと
CDBEFA
DBEFAC
などの並びはみな(時計回りに)
Aの横がC,その横がD、その横がB・・・Fの横がAとなっているので同一のものとみなします。
(つまり、上の例は3つ示したが重複していて、1通りと数えるという事!)
これは、同じ並びでも回転すると違う並びに見えるという事を表しています。
そこで、この回転による影響(重複)を取り除くための方便が誰か1人の場所を固定するという方法です
例えば6席が北、北東、南東、南、南西、北西の位置にあるとします
Aを北に固定すればBの位置は南しかないですよね(北席と南席が向かいの位置になるから)
このとき、残りの4席の座り方の1例が
北東、南東、南西、北西
 C  D  E   F
です。先生も含めると
北、北東、南東、南、南西、北西
A  C   D  B E   F
です
順番は変えずに1席スライドすれば
北、北東、南東、南、南西、北西
C  D  B  E  F  A
もう1席スライドすれば
北、北東、南東、南、南西、北西
D  B  E  F  A   C
さらにもう1回スライドすれば
北、北東、南東、南、南西、北西
B  E  F  A   C  D
です

この座り方の最上段と最下段はちょうど先生A,Bの座る場所を変えた関係にありますが、前に述べた通り並び順は同じなので
上に書いた座り方は全て同一と考えます!
全て同一なら、この座り順は
「北、北東、南東、南、南西、北西
 A  C   D  B E   F」
で代表させておくと混乱しにくいですよね。
この他の並び順(例ADEBFCなど)についても、上に書いたような表が書けますが、やはり北にAが座ったもので代表させると混乱が無いです
ということで、Aを固定(北席)して考えるというのが円順列の(スッキリした)考え方です
このとき、Aは北に固定ですから、先生を入れ替えるというという事は起きません
従って、Bの席は南席のみとなります
つまり、Bの席は1通りに決まるのです。

まだ、分からないことがあれば質問してください。時間があるときに出来るだけ詳しくかつ噛んで含めたような説明をさせてもらいます(by元塾講)
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