ex192の問題なのですがなぜこの様な形になるのでしょうか？

ex192の問題なのですがなぜこの様な形になるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/30 17:42

偶関数、奇関数ってものがあります。

多項式に限らず、
どんな実数 x についても f(-x)=f(x) となる f(x) が偶関数、
f(-x)=-f(x) となる f(x) が奇関数です。
f(x)=x^n は、n が偶数のとき偶関数、n が奇数のとき奇関数
になっています。(確認してみてください。)

f(x) が偶関数のとき、∫[-a,a]f(x)dx = ∫[-a,0]f(x)dx + ∫[0,a]f(x)dx,
∫[-a,0]f(x)dx = ∫[a,0]f(-u)(-du)　; u = -x と置いた
= ∫[a,0]f(u)(-du)　; 偶関数だから
= -∫[a,0]f(u)du
= ∫[0,a]f(u)du.
となるので、
∫[-a,a]f(x)dx = ∫[0,a]f(u)du + ∫[0,a]f(x)dx = 2∫[0,a]f(x)dx.
となります。

f(x) が奇関数のときは、∫[-a,a]f(x)dx = ∫[-a,0]f(x)dx + ∫[0,a]f(x)dx,
∫[-a,0]f(x)dx = ∫[a,0]f(-u)(-du)　; u = -x と置いた
= ∫[a,0]{-f(u)}(-du)　; 奇関数だから
= ∫[a,0]f(u)du
= -∫[0,a]f(u)du
となるので、
∫[-a,a]f(x)dx = -∫[0,a]f(u)du + ∫[0,a]f(x)dx = 0.
です。

これを使うと、∫[-a,a](xの多項式)dx の計算は手間を減らせて、
∫[-3,3](2x^2-x-3)dx = ∫[-3,3]{(2x^2-3)+(-x)}dx
= ∫[-3,3](2x^2-3)dx + ∫[-3,3](-x)dx
= 2∫[0,3](2x^2-3)dx + 0.
のように進められます。ここの式変形は、通常暗算で済ますので、
写真の解説のようにイキナリ
∫[-3,3](2x^2-x-3)dx = 2∫[0,3](2x^2-3)dx.
と書かれることが多いです。

多項式の次数が上がれば上がるほど便利な小技ですから、
これを機会に覚えておくといいでしょう。
ポイントは、積分区間が [-a,a] の形で、原点対称であることです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/06/30 18:36

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2019/06/30 17:36

2ｘ²-ｘ-3の積分＝(2ｘ²-3の積分)－ｘの積分だけど

ｘは奇関数だから-3から3までの積分は0
だから問題は2ｘ²-3のｰ3から3までの積分ということだけど
2ｘ²-3は偶関数だから-3から3までの積分は0から3までの積分の2倍になる。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/30 17:32

積分範囲の絶対値が同じ場合、偶関数と奇関数を積分すると以下のようになるからです。

∫[-p, p] ax^2n dx=2∫[0, p] ax^2n dx（←積分区間0～pの2倍に等しい）

∫[-p, p] bx^(2n-1) dx=0（←0に等しい）

（a,b≠0、nは自然数、p>0）

今回の場合2x^2 - x - 3と2次、1次、0次（定数）の組み合わせとなる2次関数ですので、上記に倣い1次の部分を消すことができます。