ベクトルの問題です。 (3)がまったくわかりません。誰か解いてくださいお願いします。

ベクトルの問題です。
(3)がまったくわかりません。誰か解いてくださいお願いします。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2019/07/24 13:48

△ABSと△ABTの面積が等しいということは

点Sと直線ABとの距離と点Tと直線ABとの距離が等しいということ

点Sと点Tは直線ABから見て同じ側にはない（同じ側だと同じ点）ので
線分STの中点は直線AB上にある
つまり（逆に考えて）
直線ABと直線lの交点（点Uとする）が求められれば　ST↑=2*SU↑から点Tが定まる

△ASTの面積を、底辺=線分STの長さ、高さ=直線STと点Aとの距離　から考え
△OABの面積は△ABRの面積の2倍
△ABRの面積を、底辺=線分BRの長さ、高さ=直線BRと点Aとの距離　から考えると
それぞれの長さの比が計算できるので、面積の比も計算可能

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/07/25 19:43

↗OAと↗OBは任意ベクトルであるが、この問題では、

↗OA =↗A=(1,0)、↗OB=↗B=(0,1)を基底ベクトルと仮定して計算すると、
すべての計算を座標(x，y)の形で計算できる。
↗OAと↗OBが変わっても、ベクトルの一次関係式は変わらず成立する。
↗OP=↗P=↗B/(1+5)=(0,1/6)
↗A と↗Pの3:1の内分は比の数字の順序を逆にして、
1と3から1/(3+1)と3/(3+1)の結合係数を作り、
次式の↗A と↗Pの一次結合を作ると
↗OQ=↗Q＝1/(3+1)↗A+ 3/(3+1)↗P＝(1,0)/4+3(0,1/6)/4＝(1/4,1/8)
↗OR=↗R＝1/2↗A＝(1/2,0)
(1) ↗OP=(0,1/6) =(1/6)↗B
　↗OQ＝(2,1)/8=(1/4)↗A+(1/8)↗B
　 ↗OR=1/2↗A＝(1/2,0) =(1/2)↗A
(2) (i) ↗RB=↗B －↗R＝(0,1)－(1/2,0) = (－1/2, 1)
　　ℓ 上に↗Sを定め、↗QS＝t↗RB　とする。
　 ↗S－↗Q＝t↗RB
　 ↗S＝↗Q + t↗RB
　 ↗OS=↗S＝(1/4,1/8)+ t(－1/2, 1)=(－t/2+1/4, t+1/8)
(ii) ↗Sが↗OB上にあると、 －t/2+1/4=0よりt=1/2とすると
　↗S＝¬(0，5/8)＝5/8 ¬↗B
　QSの延長線が直線ℓである。上式の変数tをuに変えて、
　↗U＝↗Q + u↗RB¬=(－u/2+1/4,u+1/8)とすると、↗Uは直線ℓ上にある。
　直線AB上の点はx+y=1が成り立つ。↗Uがこの関係をみたすのは
　－u/2+1/4+u+1/8=1からu/2+3/8=1、u=5/4で↗U=(－3/8，11/8)
　↗Uは直線ABと直線ℓの交点である。
　↗SU=↗U－↗S＝(－3/8，11/8)－(0，5/8)=(－3/8，6/8)
(3) ℓ 上に↗S 以外の点Tを定め、△ABSと△ABTの面積を等しく取る。
　図で点Sを通り、ABに平行な線を(赤色)mとする。もう一本ABに平行な線ｎ(赤色) を引いて、mとABとｎが等間隔になるようにする。
ℓとｎの交点をTとすると△ABS=△ABTとなる。なぜなら、ABを底辺とする三角形は、底辺と平行な線mとｎのどの点を頂点としても、高さが同じで面積も同じになる。
　ST＝SU×2=(－6/8，12/8)
　↗OT＝↗T＝↗S+ST=(0，5/8)+ (－6/8，12/8) =(－6/8，17/8)
　　　=－3/4↗OA+17/8↗OB
　△ASTと△OABの面積の比の出し方
　↗U=(－3/8,11/8)，↗A=(1,0)から
　↗A U=(－3/8,11/8)－(1,0) =(－11/8,11/8)
　AU=11/8･√2．AB=√2、SB=3/8、OB=1、△OAB=1/2を使う。
　△AST/△ASU=ST/SU＝2　(共通頂点をAとし、底辺STとSUの比)
　△ASU/△ASB=AU/AB=11/8　(共通頂点をSとし、底辺AUとABの比)
　△ASB/△AOB=SB/OB=3/8　(共通頂点をAとし、底辺SBとOBの比)
この3行の式を辺々掛けると、△AST/△AOB=33/32
　ベクトルの外積の公式で計算しても　
　△AST= (↗T－↗A)×(↗S－↗A)/2=33/64，△AOB=1/2　となる。