物理 電磁気 ビオザバールの放送

赤で印をつけた2番の問題の解説をお願いします
画像見づらいので問題は「円と三角形が点0(中心)につくる磁界を求めよ。どちらが大きいかも示せ。」という問題です。
dH＝(I sinθ/4πr^2)dsを使います
写真の正三角形の内接円の半径はRと書かれています。

No.1 回答者： seiji91 回答日時： 2019/07/26 00:17

これって、円が円状の回路（電線）で、三角が三角形の回路（電線）で、同一平面上にあって、それぞれ同じ定電流Iが時計回り、或いは、反時計回りに流れてるって事だよね？

で、ビオザバールの式が、ｒとθの極座標で与えられてる。ｄSは周回積分。だよね？

まず、極座標を意識して、電流の向きは反時計回りとします。
円、三角が中心に作る磁界は、どちらも、円・三角の平面の法線方向、奥から手前に発生。

簡単な円の方は、
ｄS　→　ｄθ、ｒ＝R（定数）で、θ＝0～２πで積分すればよい。

三角の方は、ｒが定数じゃないんでちょっと面倒。
ただ、円と三角の接点～最も近い頂点の範囲で積分して６倍すればいいはず。
正三角形の頂点は６０°、三角形の辺は円の接線で、中心から接点に引いた線は接線と９０°なので、
積分範囲は、π/6～π/2とか。
こちらの場合は、ｒは定数でなく、r = R/cos(θ - π/6)。

dH＝I sinθ/(4π・( R/cos(θ - π/6))^2))dθ＝I sinθ・cos(θ - π/6)^2/4π R^2dθ
後は、加法定理使って愚直に計算するだけかな・・・

飛び道具ないか考えたけど思いつかないです。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/07/26 01:20

1.　円の磁界

　θ=π/2、r=R だから、円周のどこでも　dH=Ids/(4πR²)、つまり、I/(4πR²) は定数だから
　円周全体で dsを積分すると2πR となり、
　　　H=∫dH=I/(4πR²)・∫ds=I/(4πR²)・2πR=I/(2R)・・・・①

2.　3角形の磁界
　3角形の一片の長さを2ℓとすると　ℓ=Rtan60゜=(√3)R・・・②

　対称性から、各辺による磁界は同じだから、底辺の磁界を3倍すればよい。底辺をx軸に設定
　する。円との接点を原点にとり、3角形の左右の頂点の座標を -ℓとℓとする。底辺の任意の
　座標をxとすると　r=√(x²+R²)、sinθ=R/r、ds=dx となる。すると、底辺だけの磁界は
　　　dH=Isinθ/(4πr²) ds=(I/4π)(R/r³)dx=(I/4π)(R/r³)dx=(I/4π){R/(x²+R²)³/²}dx

　となる。3つの辺による磁界はこれを3倍して積分すると
　　　H=3(I/4π)∫[x=-ℓ,ℓ] {R/(x²+R²)³/²}dx
　ここで、x=RtanΦ　の変数変換をすると、
　　　ℓ=RtanΦ₁・・・③
　として
　　　H=(3I/4π)∫[x=-Φ₁,Φ₁] (R/R³){1/(1+tan²Φ)³/²}R/cos²ΦdΦ
　　　　=(3I/4πR)∫[x=-Φ₁,Φ₁] {cos³Φ}/cos²ΦdΦ=(3I/4πR)∫[x=-Φ₁,Φ₁] cosΦdΦ
　　　　=(3I/4πR){sinΦ₁-sin(-Φ₁)}=(3I/2πR)sinΦ₁

　③から sinΦ₁=ℓ/√(ℓ²+R²) なので
　　　H=(3I/2πR)ℓ/√(ℓ²+R²)
　となる。②を入れて
　　　H=(3I/2πR)(√3)R/√(3R²+R²)=(I/2R)(3√3)/(2π)・・・・・④

3.　3角形と円の磁界の比較

　①➃から、(3√3)/(2π)と 1 との大小関係を見ればよい。まず、3<πから
　　　(3√3)/(2π)<(√3)/2<1
　となって、3角形の磁界が小さい。