No.3ベストアンサー
- 回答日時:
Γが階乗の一般化だと言われる例の公式 Γ(z+1) = zΓ(z) を使って、
整数 m に対して
Γ(m) = (m-1)Γ(m-1) = (m-1)(m-2)Γ(m-2) = … = {(m-1)(m-2)…1}Γ(1)
= (m-1)!・1 = (2m-2)!!/2^(m-1),
Γ(m+1/2) = (m-1/2)Γ(m-1/2) = (m-1/2)(m-3/2)Γ(m-3/2) = … = {(m-1/2)(m-3/2)…(1/2)}Γ(1/2)
= {(2m-1)(2m-3)…1/2^m}√π = {(2m-1)!!/2^m}√π.
これを使って、
nが偶数のとき、Γ(n/2)/Γ(n/2+1/2) = {(n-2)!!/(n-1)!!}・2/√π,
nが奇数のとき、Γ(n/2)/Γ(n/2+1/2) = {(n-2)!!/(n-1)!!}・√π.
これが = 2/√(nπ) になるとは、ちょっと思えないですね。
何かの間違いではないですか?
ウォリスの公式 Π[n=1→∞] (2n)^2/(2n-1)(2n+1) = π/2 から
n が偶数のとき lim[n→∞] {(n-2)!!/(n-1)!!}√n = √(π/2),
n が奇数のとき lim[n→∞] {(n-2)!!/(n-1)!!}√n = √(2/π).
となるので、
nの偶奇によらず Γ(n/2)/Γ(n/2+1/2) 〜 √(n/2).
だけれども、その話かなあ?
この回答へのお礼
お礼日時:2019/07/29 00:19
回答ありがとうございます。こちらの手違いでした。頂いた式についても今後の勉強の参考にさせていただきます。申し訳ありませんでした。
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