この計算がよくわかりません dx/dt とdy/dt がなぜこのような式になっているのか、誰かわかり

この計算がよくわかりません

dx/dt とdy/dt がなぜこのような式になっているのか、誰かわかりやすくお願いします

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/30 15:35

「関数の積の微分」はご存知ですね？

[f(x)･g(x)]' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)　　　　①

というやつ。

y = f(t)
e^(-γt) = g(t)
として、そのまま①を使えばよいだけです。

関数や変数が「x」だったり「t」だったりするのに惑わされないように。

この回答へのお礼

関数や変数が多くて少し混乱してます、参考にさせてもらいます、ありがとうございます！！

お礼日時：2019/08/15 14:36

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/30 15:46

定理：(f(t)g(t))'=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)を利用する

x=ye^ｰγtとおき、さらにy=f(t),e^ｰγt=g(t)としてこの定理に当てはめると
ｘ＝f(t)g(t)だがら　これをｔで微分したものは
dx/dt=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)
={y'・e^ｰγt}＋y(e^ｰγt)'…①
ここで更に、Y=(e^ｰγt),u=ｰγtとおくと
Y=(e^ｰγt)＝e^u
dY/du=(e^u)'=e^u
du/dt=(ｰγt)'=ｰγ
だから、定理dY/dt=(dY/du)(du/dt)を用いて
(e^ｰγt)'=Y'=dY/dt=(dY/du)(du/dt)=e^u・(-γ)=(e^ｰγt)・(-γ)…②
よって②を用いて、①の最後尾を書きかえると
①={(dy/dt)・e^ｰγt}＋y(e^ｰγt)・(-γ)
={(dy/dt)・e^ｰγt}-γy(e^ｰγt)

2つ目も同じ要領で、(dy/dt)・e^ｰγtに(f(t)g(t))'=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)を
γy(e^ｰγt)に(f(t)g(t))'=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)を　それぞれ当てはめる
必用なら2番目の定理も利用

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます！

お礼日時：2019/08/15 14:36