ルベーグ積分 画像の定理の証明で、g-h=0とあるのですが、g-hが絶対連続でその導関数が［a,b]

ルベーグ積分
画像の定理の証明で、g-h=0とあるのですが、g-hが絶対連続でその導関数が［a,b]で0に等しいというだけでは、g-h=定数ということしか導けないとおもいます。
g-h=0というのはどうやって導かれるのですか？

質問者からの補足コメント

• 定理の続きです

  
    補足日時：2019/08/15 15:49

• 定理の証明です

  
    補足日時：2019/08/15 15:49

• 証明の残りです

  
    補足日時：2019/08/15 15:50

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/16 05:38

φ+g=f=ψ+h

だから
φ+g=ψ+h

ψ-φ=g-h

g-hが絶対連続で
ほとんど至るところ
(g-h)'=0
だから

g-h=定数

↓ψ-φ=g-hだから

ψ-φ=g-h=定数

ψ-φ=定数

ψ,φは絶対連続でないのだから
ψ-φは0以外の定数値関数だと仮定すると
絶対連続でないことになり
ψ-φ=g-h
左辺が絶対連続でない事と右辺が絶対連続と矛盾するから

ψ-φ=0

↓g-h=ψ-φだから

g-h=ψ-φ=0

∴
g-h=0

この回答へのお礼

ありがとうございます、納得しました

お礼日時：2019/08/16 19:24