画像の数学の問題の解き方を教えてください！ 途中式もよろしくお願いします！ ちなみに答えは (1)1

画像の数学の問題の解き方を教えてください！
途中式もよろしくお願いします！
ちなみに答えは
(1)1/2
(2)0
(3)0
(4)2
です！

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/07 15:46

(1) 分母・分子を有理化。

[ √(x^2 + x + 1) - 1 ] / [√(1 + x) - √(1 - x) ]
= [ √(x^2 + x + 1) - 1 ][ √(x^2 + x + 1) + 1 ][√(1 + x) + √(1 - x) ] / { [√(1 + x) - √(1 - x) ][√(1 + x) + √(1 - x) ][ √(x^2 + x + 1) + 1 ]}
= [ (x^2 + x + 1) - 1 ][√(1 + x) + √(1 - x) ] / {[(1 + x) - (1 - x)][ √(x^2 + x + 1) + 1 ]}
= (x^2 + x)[√(1 + x) + √(1 - x) ] / { 2x[ √(x^2 + x + 1) + 1 ] }
= (x + 1)[√(1 + x) + √(1 - x) ] / { 2[ √(x^2 + x + 1) + 1 ] }

これで x→0 にすれば
　与式 = (√1 + √1) / [2(√1 + 1)] = 1/2

(2) これも有理化。
　√[(1/x) + 1] - √[(1/x) - 1]
= {√[(1/x) + 1] - √[(1/x) - 1]}{√[(1/x) + 1] + √[(1/x) - 1]} / {√[(1/x) + 1] + √[(1/x) - 1]}
= { [(1/x) + 1] - [(1/x) - 1] } / {√[(1/x) + 1] + √[(1/x) - 1]}
= 2 / {√[(1/x) + 1] + √[(1/x) - 1]}
= 2x / {√[1 + x] + √[1 - x]}

これで x→0 にすれば
　与式 = 0 / 2 = 0

(3) 指数部分を有理化。
　1/[√(x + 1) - √(x - 1)]
= [√(x + 1) + √(x - 1)] / {[√(x + 1) - √(x - 1)][√(x + 1) + √(x - 1)] }
= [√(x + 1) + √(x - 1)] / [(x + 1) - (x - 1)]
= [√(x + 1) + √(x - 1)] / 2

よって
　(1/2)^{ 1/[√(x + 1) - √(x - 1)] }
= (1/2)^{ [√(x + 1)] /2 } * (1/2)^{ [√(x - 1)] /2 }
= 2^{ -[√(x + 1)] /2 } * 2^{ -[√(x - 1)] /2 }

これで x→∞ にすれば
　与式 = 0

(4) これも有理化。
　√(x^2 - x + 1) - √(x^2 + 3x + 1)
= [√(x^2 - x + 1) - √(x^2 + 3x + 1)][√(x^2 - x + 1) + √(x^2 + 3x + 1)] / [√(x^2 - x + 1) + √(x^2 + 3x + 1)]
= [ (x^2 - x + 1) - (x^2 + 3x + 1)] / [√(x^2 - x + 1) + √(x^2 + 3x + 1)]
= [ -4x ] / [√(x^2 - x + 1) + √(x^2 + 3x + 1)]
= -4x / {√[x^2 (1 - 1/x + 1/x^2)] + √[x^2 (1 + 3/x + 1/x^2)] }

ここで、 x→-∞ にするので x<0 であり
　√x^2 = -x
であることから

= 4 / [√(1 - 1/x + 1/x^2) + √(1 + 3/x + 1/x^2)]

これで x→-∞ にすれば 1/x, 1/x^2→0 なので
　与式 = 4/2 = 2

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/10/07 04:24

有理化する.