高校数学の軌跡の基本的な求め方である,方程式が解を持つような条件を求める手法は理解したのですが, 具

高校数学の軌跡の基本的な求め方である,方程式が解を持つような条件を求める手法は理解したのですが,
具体的な問題に対してどのように解を持つような条件を求め,示せば良いのかわかりません。

例えば次のような基本的な問題を考えます。tについて次の連立方程式cost=x,sint=yが0≦t≦π/2の範囲に解を持つためのxとyの条件を求めよ。この問題を例に考え方をじっくり解説していただけないでしょうか。

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/20 21:10

連立方程式から t を消去することができれば、得られた式は t が存在するための必要条件になります。

ただし、単なる必要条件であって、それだけでは求めたい t が存在する保証はありません。
cos t = x, sin t = y から t を消去して x^2 + y^2 = 1 を得ることは、三角関数を知っていれば易しい
と思いますが、x^2 + y^2 = 1 が成立するだけでは、cos t = x, sin t = y の解 t は 0 ≦ t ≦ π/2 の範囲に
入っていないかもしれないからです。では、どうしたらいいのでしょう？

それには、0 ≦ t ≦ π/2 に対する (cos t, sin t) がなす集合を調べ、(x,y) がその集合に入っているかを確認
しなくてはなりません。ひとつの実変数の変域などと違って、2次元の (cos t, sin t) がなす集合を調べるのは
難しく、連立方程式の一般論として方法を簡潔にまとめることはできそうにありません。そこで、図形です。
(cos t, sin t) がなす集合を平面図形としてとらえることができれば、(x,y) がそこに入るかどうかを
直感的に判定することができるようになります。問題を「幾何的に考える」とは、そういうことです。

今回の例題は、t の範囲がたまたま 0 ≦ t ≦ π/2 だから、x と y をバラバラにしたままで
0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1 と扱っても、x^2 + y^2 = 1 上の (x,y) の範囲が正しく求まってしまいます。しかし、
例えば t の範囲が 0 ≦ t ≦ (3/2)π だったら、どうでしょう？
x, y を別々に考えると、-1 ≦ x ≦ 1, -1 ≦ y ≦ 1 となって、(x,y) が第４象限ではいけないことが見えてきません。
そこを見通すには、cos t = x と sin t = y を個別に式変形で考えるのではなく、
0 ≦ t ≦ π/2 の範囲で (cos t, sin t) が描く図形の全体像を把握する必要があるのです。

どうしたら、それができるのかって？ ですから、マニュアル式の方法論はありません。
ひとつ言えることは、「図を描いて、幾何的に考えましょう」ということだけです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。まずはx=cost,y=sintが0≦t≦π/2に解を持つならば,cos²t+sin²t=1よりx²+y²=1が成り立つ。よってx²+y²=1はx=cost,y=sintが0≦t≦π/2に解を持つための必要条件であり,求めるxとyの範囲が絞られる。x²+y²=1上の点各々がx=cost,y=sintが0≦t≦π/2に解を持つ持つかどうか十分性を幾何的に確認していくという理解でよろしいでしょうか？

お礼日時：2019/11/20 23:54

No.4 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/11/20 19:02

ANo1は全然連立方程式ではありませんでした。

No3さんの回答を参考にされてください。
すみませせんでした。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/20 15:53

cost=x,sint=yが解を持つという事は、tが媒介変数・パラメータ（つなぎ文字）になっているということです

そこで「つなぎ文字t」をまず消去です
今回、cost=x,sint=yは三角関数の定義そのものですから、単位円が思い浮かぶはず
という事で2乗の和ならｔが消えそうという発想になります
x²+y²(＝cos²t+sin²t)=１
ただし、0≦t≦π/2と言う条件付きだから
0≦x≦1　かつ ０≦y≦１　
（つまりはｘ－ｙ平面上で半径１の円周上の第一象限にある点(x,y)なら、連立方程式は解を持つということ）

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2019/11/20 15:25

x≧0、且つ、y≧0

で良いと思います。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/11/20 15:21

sint,　cost を0≼ｔ≼π/2の範囲でグラフに書いてみてそれがどのような値になるのかを見てみればよいだけです。

cos0 =1, cosπ/2=0, cost≧0　∀0≼ｔ≼π/2
⇒　0≼x≼1

sin0=0, sinπ/2＝1, sint ≧0 　∀ 0≼ t ≼π
⇒　0≼y≼1

範囲内がすべて0より大きいことを証明するためには、マクローリン展開とかをすればできるのかな？
高校数学ではそこ迄やることは求められないとおもうけど。