No.1
- 回答日時:
画像の解説には、その問題について
「n≦N-1のとき、P(n+1)/Pn≧1」,「n≧Nのとき、P(n+1)/Pn≦1」が成り立つ
とは書かれていません。
落ち着いて、文章をきちんと読みましょう。
「n≦N-1のとき、P(n+1)/Pn≧1」,「n≧Nのとき、P(n+1)/Pn≦1」が『成り立てば、』〜が成り立ちます。だから〜
と書いてあります。
そのページの問題について
「n≦N-1のとき、P(n+1)/Pn≧1」,「n≧Nのとき、P(n+1)/Pn≦1」が成り立つ
かどうかは、その文章を読んだ貴方が、(1)の結果を用いてこれから確認するのです。
そこを確認すれば、『だから〜』以降のことが成立すると判り、
N を発見することで(2)が解けるよ という解説なのです。
No.2
- 回答日時:
この問題に限らず、この手の(確率の)類題で
確率pnの最大値などを調べる有効手段が画像の囲みです
例えば、p1<p2<p3<p4>p5>p6 と言う関係がある時最大値はどれになりますか?
P1はP2より小さい
P2はP3より小さい
P3はP4より小さい
P5はP4より小さい
P6はP5より小さい
ということは、どれにも大きさで負けていないのがP4という事になりますよね
よってP4が最大
これらを不等式にすると
P2>p1⇔p2/p1>1
同様に
p3/p2>1
p4/p3>1
これくらいの分量ならすべてを書き出すことも可能ですが、もし数がもっと増えれば全てを書き出すことがとても大変になります
という事でこれらを文字nを使いひとまとめに表現したのが
p[n+1]/p[n]>1です
例えばn=2を代入すればp3/p2>1となるので、nを順次変えていけばすべてのケースを網羅しているのです
同様に考えて P4>P5以降についてはp[n+1]/p[n]<1です
そして、Nと言うのは不等号の向きが変わる境目の事です(上の例で言えばp4の4がNに相当)
画像の囲みはこのような仕組みを文字nとNを使って短い表現で言いあらわしているだけの事に過ぎないのです
でも、この囲みを覚えるよりは
p1<p2<p3<p4>p5>p6
または、画像にあるように
p1<p2<・・・<pN>pN+1>・・・
と言う関係をまずは突き止め
その場合、最大値はPN だよ
ということを理解する方が良いと思います
(囲みを覚えるのは大変だろうと思いますし、表現的にもややこしいですから・・・)
ちなみに、必ずしも<、>ではなく
≦や≧の場合だってあります
例えば
p1<p2<p3≦p4>p5>p6や
p1≦p2≦p3≦p4≧p5≧p6
と言うケースだって有り得るわけです
これを考慮して囲みでは<、>ではなく
≦、≧という記号が使われています
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
さて、それでは実際にやってみましょうか。
(1)は、白玉に 1,2,3,4,5 、赤玉に 1,2,3,...,n と番号を書き込んで考えると、
合計 n+5 個の玉から 2 個取り出す組み合わせが (n+5)C2 = (n+5)(n+4)/2 通り。
白玉 1 個と赤玉 1 個を取り出す組み合わせは、白赤それぞれの玉の選び方から 5n 通り。
白玉 1 個と赤玉 1 個を取り出す確率は、p(n) = 5n/{(n+5)(n+4)/2} = 10n/((n+5)(n+4)).
(2)では、(1)の結果を用いて
p(1) ≦ p(2) ≦ ... ≦ p(N-1) ≦ p(N) ≧ p(N+1) ≧ p(N+2) ≧ ...
となる N を求めるわけですが、それには、解説に書いてあるように、
p(N) > 0 を利用して変形した p(N-1)/P(N) ≦ 1 ≧ p(N+1)/P(N) を解いてもいいし、
もう少し変形して p(N)/P(N-1) ≧ 1 ≧ p(N+1)/P(N) を解いてもいいのです。
こっちの式だと、p(N)/P(N-1) と p(N+1)/P(N) が N をひとつずらしただけ
の関係になっていて、式を操作する上でお得感があります。
1 ≧ p(n+1)/p(n) を満たす最小の n を N とすればいいからです。
(1)の結果から、 p(n+1)/p(n) = { 10(n+1)/((n+6)(n+5)) }/{ 10n/((n+5)(n+4)) }
= (n+1)(n+4)/((n+6)n) となるので、
1 ≧ p(n+1)/p(n) となる n の条件は、不等式 1 ≧ (n+1)(n+4)/((n+6)n) と書けます。
n が自然数なら (n+6)n も自然数なので、
両辺にこれを掛けて分母を払うと (n+6)n ≧ (n+1)(n+4).
移項して整理すると、0 ≧ (n+1)(n+4) - (n+6)n = -n+4.
この式を満たす自然数 n は、n ≧ 4 です。
以上で、n ≧ 4 のとき p(n+1)/p(n) ≦ 1、 n < 4 のとき P(n+1)/p(n) > 1 と判ったので、
写真の解説にある考え方を使って、 p(1) < p(2) < p(3) < p(4) ≧ p(5) ≧ p(6) ≧ ...
p(4) が p(n) の最大値だと判ります。 max{p(n)} = p(4) = 10・4/(9・8) = 5/9 です。
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