数学A 240番についてです。 なぜ3の指数だけaと置けるのでしょうか。

数学A
240番についてです。
なぜ3の指数だけaと置けるのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 読みにくいので補足します
  答えの上から3行目は
  
  数は2^3・3^a・5（a＝0.1.2）
  と書いてあります。

    補足日時：2019/11/30 12:43

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/11/30 13:38

nのと３６の共通の約数をｍとすると、

ｎ＝a＊ｍ
３６＝ｂ＊ｍ、a、ｂは互いに素
この時、最小公倍数はa＊ｂ＊ｍ
３６と３６０を素因数分解すると
３６＝２²＊３²＝ｂ＊ｍ
３６０＝２³＊３²＊５＝２²＊３²＊２＊５＝ｂ＊ｍ＊a
a＝１０(偶数)に対して素な数は２^pでなく３^pだから
ｎ＝２＊５＊２²＊３^p(p=0~2)
p=0の時ｍ＝２²でa＝２＊５、ｎ＝40
ｐ＝１の時ｍ＝２²＊３でa＝２＊５、ｎ＝120
ｐ＝２の時ｍ＝２²＊３²でa＝２＊５、ｎ＝360

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/30 13:03

例

12と20の最小公倍数は60
求め方
12=2x2x3
20=2x2x5
両者に共通な因数2x2と　片方にしかない因数3,5を掛け算して
最小公倍数=2x2x3x5

ここで、20がもしブラックボックスに隠れていれば
12=2x2x3
と60=2x2x3x5をみて
ブラックボックスの因数を類推可能
60の因数5は12には含まれていないので、ブラックボックスの因数に５が含まれることは確定
一方　2x2x3はブラックボックスに含まれていてもいなくても良い
従ってブラックbox=2^a・3^b・５(a=2,b=0とすれば　blackbox=20)

240も同じ要領で
36=2x2x3x3
n=?
公倍数:360=2x2x2x3x3x5
36に含まれない因数５がｎに存在するのは確定
2についても36には２こしか含まれない。でも360には３こ含まれる
最公倍数を作るには両者に共通な因数と　片方にしかない因数を取り出して積にするから
2x2は　３６にしかない、または共通因数だとしても
残り１この２はnにしかない物という事になる
前者はつじつまが合わず不適だから、共通因数が2x2　加えて、nには2がもう１つ余分にある→つまりnの因数は2x2x2という事も確定です
(前述の最小公倍数ルールの基づいて、
nの２の数が2個以下なら、最小公倍数の２の個数は２
ｎに含まれる２が3個なら、最小公倍数の２の個数は３
ｎに含まれる２が4個なら、最小公倍数の２の個数は4
適合するのは　nの因数2x2x2だけ)

しかし、３ｘ３についてはこの限りではありません。
36と最小公倍数の因数の３の個数が　ともに２こずつだから
nの３の数も、0個から2個の可能性が有り得るのです