因数分解の考え方

「2X^3-7X^2+2X+3」を因数分解しなさい、という問題があるのですが、解き方が分かりません。
答えは「(X-1)(X-3)(2X+1)」となっているのですが、どう考えれば、このような因数分解ができるのでしょうか？
どなたか教えてくれないでしょうか？

No.1 回答者： sameid 回答日時： 2004/12/24 11:53

大学入試レベルで言います。

３次関数の因数分解はほぼ確実に、ｘに『３～－３の整数』を入れると『＝０』になります。
この場合も
Ｘ＝１とすると　２－７＋２＋３＝０ですね。
つまり(ｘ－１)がくくりだせると言う事になります。
ここから二次式にできますよね？あとは容易かと思います。
注意点としては、最大次数にある『２』ですかね…
この数字が分母に入り込む可能性を考えると、
整数の他に『３／２～－３／２』も『＝０』の候補になる可能性があると言う事。
この場合、分子が３～－３の間の整数となります。

No.2 回答者： mitochan1975 回答日時： 2004/12/24 12:00

3次式なので、3次の項が２で、定数が３なので、因数分解の結果が

(2X+a)(x+b)(x+c)となると思われます。a,b,cは整数です。
よって、abcが３になるには、１と３が含まれることになります。これを3次式に代入して計算結果が０になれば、因数が決定します。１と３ともに０となるので、
(X-1)と(X-3)は因数に含まれます。3次式を(X-1)(X-3)で割れば、(2X+1)とでます。
ちなみに、3次式に-1/2を代入しても０になります。

No.3 回答者： BK2Sat 回答日時： 2004/12/24 23:12

剰余の定理『整式P(x)をx-αで割ったときの余りはP(α)に等しい』

　↓
整式P(x)をx-αで割ったときの余りが０ならば、P(x)はx-αで割り切れる。
　↓
P(α)=0ならば、P(x)はx-αで割り切れる。
　↓
P(x)はx-αで割り切れる　⇔　P(x)はx-αを因数に持つ
　↓
因数定理『整式P(x)はx-αを因数に持つ　⇔　P(α)=0』

3次以上の因数分解は、この因数定理を用いることが多いです。＃１、＃２の方々が説明していらっしゃるのが、この方法です。

No.4 回答者： Piazzolla 回答日時： 2004/12/25 01:32

通常は、他の方々がおっしゃっているように、因数定理で解きますが、こんな方法もあります。

二次方程式の解き方で、解の公式を使うこともありますが、三次、４次にも解の公式があります。

複雑な公式なので、ここには書きませんが、二次方程式の場合と同様に、係数を代入して、３つの解が求まります。

3つの解を　ｘ＝a,b,c　とすれば、
(x-a)(x-b)(x-c)=0

と因数分解できます。
（このあたりは、高校数学の範囲を超えるんでしたかな。＾＾；）

No.5 回答者： Piazzolla 回答日時： 2004/12/25 01:35

＃４は、ｘ＾３に係数がない場合でした。

＾＾;；
すみません。。。

No.6 ベストアンサー 回答者： pyon1956 回答日時： 2004/12/25 08:04

因数定理を使う場合の入れてみる数の選び方について。

整式が(x-α)でわりきれて、αが有理数ならば、
α＝±最高次の係数の約数/定数項の約数
という定理があるので、（ただし約数はその数自身と１を含む）
この場合±（３の約数）/（２の約数）をいれてみるわけです。
つまり、1,　3,　1/2,　3/2と、これらにマイナスをつけたものが
候補になります。それ以外の有理数をいれても０にはなりません。

No.7 回答者： physicsache 回答日時： 2004/12/26 22:55

変数の無い項に着目！！！

3ですね。

ということは、その約数と、約数の負の値で分解できます。
つまりこの場合は、1,-1,3,-3が候補！！

それぞれXに代入してみると、、、０になるものがあるはず！

てことは、X=kを代入して０になったとすると、
(X-k)で因数分解できるってことなんですね。