フーリエ級数展開でf(x)=xを表すと画像の式のようになるようですが、どのようにして画像の式を導いた

フーリエ級数展開でf(x)=xを表すと画像の式のようになるようですが、どのようにして画像の式を導いたのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/12/25 19:30

フーリエ級数展開の係数計算の公式で、積分を部分積分で計算したら出てきます

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/12/25 19:37

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/25 19:41

フーリエ級数の定義どおり計算したんだと思いますよ。

f(x) のフーリエ級数展開は、
f(x) = a_0 + Σ[n=1→∞]{ (a_n)(cos nx) + (b_n)(sin nx) },
a_n = (1/π)∫[-π,π]f(x)(cos nx)dx,
b_n = (1/π)∫[-π,π]f(x)(sin nx)dx.　です。

f(x) = x に対して a_n, b_n を計算すれば、
a_n = (1/π)∫[-π,π]x(cos nx)dx
= (1/π){ [ x(1/n)(sin nx) ]_(x=-π,π) - ∫[-π,π]1(1/n)(sin nx)dx }　；部分積分
= (1/π){ (0 - 0) - (1/n)[ (1/n)(-cos nx) ]_(x=-π,π) }
= (1/π){ (0 - 0) - (1/n^2)(- (-1)^n + (-1)^n)) }
= 0,
b_n = (1/π)∫[-π,π]x(sin nx)dx
= (1/π){ [ x(1/n)(-cos nx) ]_(x=-π,π) - ∫[-π,π]1(1/n)(-cos nx)dx }　；部分積分
= (1/π){ (- π(1/n)(-1)^n + (-π)(1/n)(-1)^n) - (1/n)[ (1/n)(-sin nx) ]_(x=-π,π) }
= (1/π){ - 2π(1/n)(-1)^n - (1/n)(0 - 0) }
= -2(1/n)(-1)^n.

よって、
f(x) = 0 + Σ[n=1→∞]{ 0(cos nx) + ( -2(1/n)(-1)^n )(sin nx) }
= 2 Σ[n=1→∞]( (-1)^(n+1) )(sin nx)/n.