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数学の問題です
x^2+4/x^2=9とする。
(x-2/x)^2=ケである。x-2/x<0のときはx-2/x=√ケであり、したがって、このときx=√コサ-√シ/スという問題の解説をお願いします!ケ=5というのはわかったのですが、√コサ-√シ/スの所が分かりません。

質問者からの補足コメント

  • プラマイ√13というのがでてきたのですが、回答にはつあていませんでした。どうして±が-になるのでしょうか?

      補足日時:2019/12/30 08:03

A 回答 (4件)

誘導の筋が悪いなあ。


なぜ、x - 2/x をカタマリと見ようとするのか?
x^2 + 4/x^2 = 9 を見れば、普通は
x^2 についての二次方程式だと思う。
x^2 が正または0であることから、
四次方程式の4個の回が2個に減らされる理由もすぐ解る。

この問題は、あえて x^2 ではなく x - 2/x についての
二次方程式 (x - 2/x)^2 = 5 と見ることによって、
不適解が生じるところを見えにくくしている。
出題のための出題、いやらしい問題とも言えるが、
自分で復二次方程式を解く時ときに、こんな解法はとらないほうがいいよ
というサンプルだと思って読んだらいいのかもしれない。
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x^2+4/x^2=9


(x-2/x)^2=5
x-2/x=±√5

① x-2/x>0 のとき、
x-2/x=√5
x^2-√5x-2=0
x=(√5±√13)/2

② x-2/x<0 のとき、
x-2/x=-√5
x^2+√5x-2=0
x=(-√5±√13)/2

x^2+4/x^2=9
両辺に x^2 をかけると
x^4+4=9x^2
x^4-9x^2+4=0
4次方程式なので、一般的には解が4つあります。
①か②の条件がつくと解は2つになります。
No.2 さんもかかれているように、他に条件がなければ解は2つになります。
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(x - 2/x)^2 = x^2-4 +4/x^2= 9-4 = 5



x-2/x=±√5 かつ x-2/x<0より-√5 (答の形的に不等号の向きか何か間違えてませんか?)

x≠0より、両辺にxを掛けて x^2-2 = -√5x
x^2+√5x -2 =0
x = (-√5±√(5+8))/2
= (±√13-√5)/2

あとは、問題冒頭(ケとかに行く前に)x>0とかありそうな予感
それなら(√13-√5)/2
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x+2/xの値を求めて2/x=yと置くとx,yについての連立方程式が出来るのでこれを解けばxが求められる。

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