線形代数 画像の線形変換（赤枠）が図形的にどういう変換をあらわしているのか、線形変換は、回転、拡大、

線形代数
画像の線形変換（赤枠）が図形的にどういう変換をあらわしているのか、線形変換は、回転、拡大、鏡映の合成で表せると思うのですが、それらの合成に分解するにはどうすればよいですか？
できれば、一般的な
方法論も教えていただけませんか？
一応線形代数学は、ジョルダン標準形まで勉強しました。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/25 21:27

線形変換は、回転、拡大、鏡映だけの合成で表せるとは限りません。

ジョルダン標準形を学んだのであれば、変換行列のジョルダン標準形が
2次以上のジョルダン胞を持つ場合にどうなるか、考えてみましょう。
回転、拡大、鏡映の表現行列は、どれも対角化可能ですから、
その合成で対角化不能な変換は作れません。
最も簡単な例として、2次のせん断変形、例えば
　　1　　３
　　0　　1
などを考えてみればよいです。

赤枠の変換は対角化可能で、ジョルダン標準形が
　　1　　0
　　0　　√3/2
ですから、「拡大」として非相似拡大も許すならば
回転、拡大、鏡映の合成で表すことはできます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/01/29 23:44

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/01/25 15:50

先程の回答Xの式おかしかったので、無視してください

そもそもの変換がおかしい気がします
X,Yをx,yをπ/4回転したものとする
つまりx,yはX,Yを-π/4回転したものなので
x = (X+Y)/√2, y= (X-Y)/√2
これを代入すると
(3X^2 + Y^2)/2 = 4
3/8 X^2 + 1/8 Y^2 = 1
つまり、縦長の楕円
これを45°回転したのが求めたい図形

なぜ元々π/4回転したものをX,Yと置いたかに付いては標準化とかで調べてください

元々の行列も根性出せば回転と拡大で表せたのかな・・・

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/01/29 23:44

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/01/25 12:40

剪断変換しているので、その3つで変換するのは無理です

Yはy軸の拡大
Xはy=-x/2の直線
への変換なので、回転、拡大、鏡映では無理です

この回答へのお礼

回答ありがとうございます、タブレットでの返信は個別補足が出来ないので、お礼欄で追加質問させてください。別の聞き方をさせていただくと、x∧２＋ｘy+ y∧2= 4 のあらわす図形を調べるには、どうすればよいですか？（線形代数の教科書だと、2次形式にたいして、画像のように平方完成して、一次変換してとらえると、その表現行列が、回転行列で楽にその図形の様子がとらえらえるケースしか載っていないので、困っています）

お礼日時：2020/01/25 14:03