確率の偏りについて

お世話になります。
コインを10回投げて7:3に偏る確率を教えてください。
また、コインを100回投げて60:40に偏る確率も教えてください。

よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/23 00:55

「確率の偏り」ではありません。

「偏る確率」でしょう。
コインを10回投げて、表/裏が5回ずつになる確率だって、そんなに高くはないんですよ。

これは「確率 p の事象」を「n 回試行したときに r 回起こる確率」ということで、「二項分布」そのものです。
従って、その確率は
　P(n, r) = nCr * p^r * (1 - p)^(n - r)
です。

「コインを10回投げて、表/裏が5回ずつになる確率」は、p=1/2, n=10, r=5 ですから
　P(10, 5) = 10C5 * (1/2)^5 * (1/2)^5 = 252/2^10 = 252/1024

「コインを10回投げて、表/裏が4/6回になる確率」は、p=1/2, n=10, r=4 ですから
　P(10, 4) = 10C4 * (1/2)^4 * (1/2)^6 = 210/2^10 = 210/1024

「コインを10回投げて、表/裏が6/4回になる確率」は、p=1/2, n=10, r=6 ですから
　P(10, 6) = 10C6 * (1/2)^6 * (1/2)^4 = 210/2^10 = 210/1024

以上より、コインを10回投げて、表/裏が4～6回の範囲に入る確率は
　P(10, 4～6) = P(10, 4) + P(10, 5) + P(10, 6) = 672/1024
であり、従って表/裏が 7/3 or 3/7 以上に偏る確率、つまり 7/3, 8/2, 9/1, 10/0 になる確率は
　1 - P(10, 4～6) = 352/1024
です。約 35%です。
それほど小さくはないでしょう？

（注）７回ちょうどは 120/1024, ８回ちょうどは 45/1024, 9回ちょうどは 10/1024, 10回は 1/1024。「3回」「２回」「1回」「0回」もそれぞれ同じです。

＞コインを100回投げて60:40に偏る確率

これも同じように計算できますが、100回も試行すれば、「表の出る回数」（あるいは「裏の出る確率」）は「正規分布」に従うとみなせます。
従って、40%以下または60%以上になる確率は、正規分布の確率分布から「32％」です。
30%以下または70%以上になる確率は、「4.6％」です。

↓　正規分布の確率分布
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

この回答へのお礼

ありがとうございます。ご指摘の通り「偏る確率」でした。
大変勉強になりました。

お礼日時：2020/02/23 09:37

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/02/22 21:03

NO1 です。

お礼に書かれている考え方で 良いのですが、少し補足させてください。
「表が７回、裏が３回 出ると云う事で良いですか。」と書きましたが、
その逆「表が3回、裏が7回 出ると云う事」も 条件に合いますので、
計算上 答えは 記載の2倍になります。
つまり 10回の場合は 約23.4％、100回の場合は 2％ となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
大変参考になりました。

お礼日時：2020/02/22 21:33

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/02/22 14:02

「コインを10回投げて7:3」は、

表が７回、裏が３回 出ると云う事で良いですか。

コインを１回投げれば 表か裏の ２通りですから、
１０回投げた時の出方は、2¹⁰=1024 通り。
その中で ７回表が出る 出方は ₁₀C₇＝10*9*8/3*2*1=120 通り。
（裏が ３回出る場合も同じです。₁₀C₃＝120 ）
つまり、120/1024＝15/128≒0.117 で 約11.7％ 。

100回投げる場合も 考え方は 同じです。
₁₀₀C₆₀/2¹⁰⁰＝₁₀₀C₄₀/2¹⁰⁰≒0.010 で、約1％ 。
（電卓で 計算しています。）
₁₀₀C₆₀＝1.3746876…x10²⁸、2¹⁰⁰=1.2676…x10³⁰ 。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
10回という少ない回数だとしても、どちらかが7回以上出る確率は約1割という低い確率であり、
また100回という回数にもなると、どちらかが6割以上出る確率はたったの1％である
という認識でよろしいでしょうか。

お礼日時：2020/02/22 20:26