数3微積の問題について 画像の7行目から8行目はどのようにやっているのですか？？ また、この問題では

数3微積の問題について

画像の7行目から8行目はどのようにやっているのですか？？
また、この問題ではbとaが2乗の項に入っているからIを0に近づけるよな数が答えということで合っていますか？？

よろしくお願いします。


高画質版
https://gyazo.com/417411506b4834e57e6f507bd67a0627

質問者からの補足コメント

• https://gyazo.com/23ce5622c27f915899989f44d4875230
  
  
  画像をミスってました。申し訳ありません。

  
    補足日時：2020/02/23 16:00

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/02/26 08:45

7行目と８行目の間にもう1行加えると分かりやすいかもしれません。

7行目から、
＝∫(x:-π→π) (x+a)² dx+2b∫(x:-π→π) (x+a)sinx dx+b²∫(x:-π→π) sin²x dx
=∫(x:-π→π) (x+a)² dx+2b∫(x:-π→π) x sinx dx+2ab∫(x:-π→π) sinx dx+b²∫(x:-π→π) sin²x dx
第1項が、2πa²+(2/3)π³
第2項が、4πb
第3項が、０
第4項が、πb²
これより、8行目になります。
=2πa²+(2/3)π³+4πb+πb²

「この問題ではbとaが2乗の項に入っているからIを0に近づけるよな数が答えということで合っていますか？？」
これは、何か変ですね。たぶん理解されていると思いますが、2乗の部分は０以上なので、Iを最小にす
るためにはその部分を０にするということです。9行目の π(b+2)² と 2πa² のそれぞれを０にするよう
な a と b を求めると、そのときにIは最小になります。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/02/23 17:40

７から8は

1項目は普通に積分して[-Π～Π]1/3(x+a)³＝２πa²＋2/3Π³
２項目は部分積分してｂ∫[-Π～Π](x+a)(‐cosx)'dx=ｂ[-Π～Π]((x+a)cosx-ｂ∫[-Π～Π]cosxdx
=b[(π＋a)‐(‐π＋a)-0+0]=2πｂ
3項目は普通に積分してｂ²[-Π～Π]1/2x-1/4sin2x=1/2Π-0+1/2Π+0=Πｂ²
のようにしてます。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/23 17:30

ふつうに定積分しています。

７行目の

第1項 = ∫[-パイ→パイ](x + a)^2dx = ∫[-パイ→パイ](x^2 + 2ax + a^2)dx
　　　= [x^3 /3 + ax^2 + a^2･x][-パイ→パイ]
　　　= (パイ^3 /3 + aパイ^2 + a^2･パイ) - (-パイ^3 /3 + aパイ^2 - a^2･パイ)
　　　= 2パイa^2 + (2/3)パイ^3

第2項 = 2b∫[-パイ→パイ](x + a)sin(x)dx
　　　= 2b∫[-パイ→パイ]x･sin(x)dx + 2ab∫[-パイ→パイ]sin(x)dx
　　　= 2b･2パイ + 0　　　←３、４行目を使う
　　　= 4パイb

第3項 = b^2･∫[-パイ→パイ]sin^2(x)dx
　　　= パイb^2　　　←２行目を使う

以上より

７行目 = 2パイa^2 + (2/3)パイ^3 + 4パイb + パイb^2　　←これが８行目
　　　= 2パイa^2 + (2/3)パイ^3 + パイ(b + 2)^2 - 4パイ　　←９行目

となり、a, b が実数の範囲を変化するときにこれが最小になるのは「２乗項 = 0」になるときなので
　a = 0, b + 2 = 0　→　a = 0, b = -2
で最小になります。
そのとき、最小値は
　Imin = (2/3)パイ^3 - 4パイ


「偏微分」が分かるなら、a、b が独立なら
　∂I/∂a = 4パイa = 0
になるのは a=0 のときで
　∂²I/∂a² = 4パイ > 0
なので a=0 のとき「最小」

　∂I/∂b = 4パイ + 2パイb = 0
になるのは b=-2 のときで
　∂²I/∂b² = 2パイ > 0
なので b=-2 のとき「最小」
と求めることもできます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。各項の積分を丁寧に書いてくださって本当に助かりました。式が長い時は各項に分けて計算していくと模範解答にそっくりな式にできるんですね。勉強になりました。
ありがとうございました！

お礼日時：2020/02/23 18:03

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/23 16:52

(x+a)²={(1/3)(x+a)³}'より

∫(x+a)²dx=(1/3)(x+a)³　だからこれを参考に定積分です

∫(x+a)sinxdx=∫xsinxdx＋∫asinxdx として３，４行目を利用です

∫[ｰπ～π]sin²xdxは２行目利用です

これらの定積分の合計で８行目が現れます

ゆえに　９行目が得られ
A²≧０→A=０でA²は最小値０をとる　と言う性質から
π(b+2)²の項はb=-2で最小値０となることが分かります
同様に
２πa²の項は　a=0で最小値０をとることが分かります
ゆえに　９行目＝π(b+2)²＋２πa²＋定数+定数
において、変数であるπ(b+2)²と２πa²がともに最小なら全体として９行目も最小
すなわちIも最小という考え方になります

この回答へのお礼

ありがとうございます！画像の文章の言ってることの意味がわかりました。とても助かりました。

お礼日時：2020/02/23 17:52