数Aの「割り算のあまりの性質」です。 ここの問題の回答なのですが、なぜ「7の2乗」なのですか？「７の

数Aの「割り算のあまりの性質」です。
ここの問題の回答なのですが、なぜ「7の2乗」なのですか？「７の３乗」や「７の４乗」ではいけないのですか？
回答よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/03 00:45

n 乗の公式は

　(a + b)^n = Σ[k=0～n]{nCk * a^k * b^(n - k)}
ですよね。

ここで、a の倍数でない項は k=0 のときだけで、その項は
　nC0 * a^0 * b^n = b^n
ということになります。それ以外の項は、みんな a で割り切れます。

つまり、問題では、
　a = 12
とすれば、12 で割った余りは b^n を 12 で割った余りということになります。

＞「７の３乗」や「７の４乗」ではいけないのですか？

ダメでしょう。
　7^50 = (7^3)^(50/3)
　7^50 = (7^4)^(50/4)
では「整数乗」になりませんから。

＞7の5乗でもいいんですよね？

いいですよ。
　7^50 = (7^5)^10
ですから。
7^5 /12 のあまりは「７」なので、7^50 を 12 で割った余りは
　7^10 を 12 で割った余り
になります。
あまり事態は進展しませんね。

7^50 = (7^2)^25 は、「7^2 /12 のあまりは 1」というところがミソなのですね。
1^25 = 1 ですから。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！！
なるほど！すごくわかりやすいです！！！

お礼日時：2020/03/03 15:27

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/03 14:47

ここで使っているのは、a^n を m で割った余りは

(a を m で割った余り)^n を m で割った余りに等しい
という事実です。
a を何回か掛けていく途中で、値を
m で割った余りにすり替えても結果は変わらない、
適宜桁数を減らしながら計算したほうがやりやすい
という話です。
だから、使うものは 7^2 でなくても 7^3 でも 7^4 でも
いいんですよ。少なくとも、原理的には。

今回、解答例が 7^2 を使っているのは、たまたま
7^2 を 12 で割った余りが 1 なので、とても使いやすく
わざわざ 7^3 や 7^4 を計算してみるまでも無いからでしょう。
7^2 を発見してしまえば、もうこっちのものだということです。

その際、7^50 の 50 が 7^2 の 2 で割り切れることは
あまり関係がありません。
7^51 を 12 で割った余りを計算する場合でも、
7^51 = 7^(2・25+1) = ((7^2)^25)(7^1) から
7^51 を 12 で割った余りは (1^25)・7 を 12 で割った余り
に等しい、だから 7。 と計算すればいいだけです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
すごくわかりやすいです！！
2乗にしているのは計算がが簡単だからってだけなんですね
スッキリしました！！

お礼日時：2020/03/03 15:30

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/03 01:42

7^5 を 12 で割って余りが 7 ってことは

7^50 を 12 で割った余りは 7-10 を 12 で割った余りと同じ
ってことだ.

んで, 7^10 = (7^5)^2 であることを使えばもっと小さくできるな.

まあ 7^3 を使うなら
7^50 = (7^3)^16 × 7^2
ってやればいいってだけなんだけど.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
3とかでも面倒なだけで出来ることは出来るんですね！

お礼日時：2020/03/03 15:29

No.3 回答者： EZWAY 回答日時： 2020/03/03 00:49

１以外の同じ数を何回もかけるのは面倒ですよね。

１であれば何回かけても１なので楽ちんです。
要するにそういうこと。
7^2を12で割った時の余りがうまい具合に１になるので、それを25乗しようが100乗しようが1になるので計算が早い。

7^3を12で割るとどうなる？あまりは１にならないでしょ？それを何回も掛け合わすことが簡単にできますか？そもそも、7^3を12で割るような計算は簡単にできますか？7^4や7^5ではどうですか？計算が簡単ではありませんよね。
まあ、50は5で割り切れるので、それらの中では7^5については余りを計算し、それを10乗し、それを7で割れば計算できます。しかし、わざわざそれをしますか？

結局、7^2を考えたときのみ、計算が楽にできるからそうしているだけです。計算が面倒でないなら、7^50を計算して、それを12で割っても構いません。しかし、試験とかであれば電卓は使えないでしょうし、そこまで桁数の多い計算が正確にできるかどうかも疑問です。

＞7の5乗でもいいんですよね？しかし、それで計算するとあまりが7になるんです、、、。
えーと、それは7^5（7の5乗）を12で割った時の話でしょ？しかし、求めるべきはそれではありません。7^50の時の話なので、それをさらに10乗してから12で割る必要があります。それを筆算でやりますか？電卓でやるのでも面倒なレベルですけどねえ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
確かに計算しにくかったです、、、汗

お礼日時：2020/03/03 15:28

No.1 回答者： ぷらぐろまあ 回答日時： 2020/03/02 23:17

３乗だと50乗に対して計算しづらいですよね。

。。
２乗が簡単で説明しやすかったからでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
「50乗（対しての計算しにくい」でいくと、7の5乗でもいいんですよね？しかし、それで計算するとあまりが7になるんです、、、。

お礼日時：2020/03/02 23:34