微分方程式 x(dy)/(dx)-y=x^(2)cosxの解き方を教えてください

微分方程式　x(dy)/(dx)-y=x^(2)cosxの解き方を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/07 00:15

(xy’ - 1y)/x^2 = cos x を x で積分すると、

y/x = sin x + C　(Cは定数) となる。
左辺積分については、商の微分公式を参照のこと。
答えは、y = x sin x + Cx.

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
最初にこうするんですね
>(xy’ - 1y)/x^2 = cos x を x で積分すると

y'と書くと便利ですね
商の微分公式で、
ｘ’=1となってy'のほうはyをxで微分したという形のまま残る…
でいいでしょうか

ピントがずれてたらすみません

お礼日時：2020/03/07 00:47

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/07 04:21

1階常微分方程式の解の公式に突っ込む... って, 結局 #2 の定数変化法と全く同じだけど.

この回答へのお礼

ありがとうございます

>結局 #2 の定数変化法と全く同じ

そうなんですね
大変勉強になりました
ありがとうございます

お礼日時：2020/03/07 08:51

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/07 00:31

定数変化法を用いる。

x(dy/dx)-y=0
x(dy/dx)=y
(1/y)(dy/dx)=1/x
∫(1/y)dy=∫(1/x)dx
log|y|=log|x|+C1
y=C2x（C1,C2：積分定数）

積分定数の部分をxの関数u(x)とし、y=u(x)xとして、元の微分方程式に代入すると、

x(dy/dx)-y=(x^2)cosx
x(u(x)+xu'(x))-u(x)x=(x^2)cosx
(x^2)u'(x)=(x^2)cosx

x≠0のとき：
u'(x)=cosx
u(x)=sinx+C
y=xsinx+Cx（C：積分定数）

x=0のとき：
y=0となる。
これは、x≠0のときの関数y=xsinx+Cxにx=0を代入した場合y=0となる。

よって、求める関数はy=xsinx+Cx（C：積分定数）

検算すると、
dy/dx=sinx+xcosx+C
x(sinx+xcosx+C)-(xsinx+Cx)
=xsinx+(x^2)cosx+Cx-xsinx-Cx
=(x^2)cosx

となり、与式と一致する。

この回答へのお礼

ありがとうございます
「定数変化法の達人」みたいですね
すごいです
まだついけいけませんが、なんとなくわかる…感じがするくらいです
ありがとうございます

お礼日時：2020/03/07 00:54