なぜ、aの値によって f’(x)の値が0以上になるか負になるか変わってくるんですか？ f’(x)=3

なぜ、aの値によって
f’(x)の値が0以上になるか負になるか変わってくるんですか？

f’(x)=3(x^2-a) から、aをどうやって導いたのですか？判別式や、=0を考えてみましたが、分かりません。

質問者からの補足コメント

• a≦0は、f'(x)の判別式D≧0と同じ、という考えは合っていますか？

    補足日時：2020/03/12 11:58

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/12 12:56

No.2 です。

「補足」に書かれたことについて。

＞a≦0は、f'(x)の判別式D≧0と同じ、という考えは合っていますか？

f'(x) = 3(x^2 - a) = 0
が「実数解を持つか」ということで、
・実数解を持つ：
　　D = 0 + 4a ≧ 0　→　a≧0
・実数解を持たない：
　　D = 0 + 4a < 0　→　a<0
ということならそういうことです。

ただし、「判別式」の考え方から直接「a≦0」が出て来るわけではありませんね。

ここでは、「x が重根を持つ」場合、つまり
　D = 0 + 4a = 0　→　a=0
のときには、「極大、極小」ではなく「変曲点」を持つということなので、「実数解を持つ」条件から a=0 の条件を除外しています。
つまり、「極大、極小を持つ条件」として、「異なる2つの実数解を持つ」か「否か」で場合分けしているということです。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/12 12:24

a≦0は、f'(x)の判別式D≧0と同じ、という考えは合っていますか？

>>>
f'(x)をｘの2次関数とみて、そのグラフがx軸と接しなければf'(x)＞０　そのための条件は D=0²-4x3x(-3a)＝36a<0⇔a<0
グラフがx軸と接するなら　f'(x)=0 そのための条件は　D=36a=0 ⇔a=0
したがって、f'(x)≧０となるための条件は　判別式からの判断で　（上２つをあわせて）　a≦０
という考え方ならあっています

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/12 11:45

＞f’(x)=3(x^2-a) から、aをどうやって導いたのですか？

a を導く必要はありません。

　y = x^2 - a
で、x が実数なら x^2 ≧ 0 ですから
　a < 0 つまり -a > 0
なら、すべての実数 x に対して y > 0 なので y ≠ 0 つまり「y = 0にはならない」ということを言っているだけです。
「f’(x)=0 にならない」ということは「f(x) は極値を持たない」ということです。

逆に a ≧ 0 であれば
　y = x^2 - a = 0
となる実数 x
　x = ±√a
が存在します。
つまり「f(x) は x=±√a で極値を持つ」ということです。

要するに「f'(x) = 0 となる x が存在するかどうか」つまり「f(x) が極値を持つかどうか」を「a の値を場合分け」して調べているのです。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/12 11:45

y=3x²-3aという2次関数を考えてください

あえて書けば　y=3(x-0)²-3aなのでこの関数グラフの頂点は(0,-3a)です
頂点のｙ座標をがプラスとなれば、このグラフはすべての部分でｙ座標がプラス（グラフがx軸より上）つまり　y≧０になることが分かりますが
このとき-3a≧０⇔a≦０です
ｙをf'(x)に置き換えたのがf'(x)＝3x²-3aですから、文字が変わっても考え方は変わらないので、a≦０で　f'(x)≧０と言うことができます

また　f'(x)=0となるとき
3(x²-a)=0　ですから
ａ＝√a²とみなして因数分解すると
3(x²-a)=0⇔(x²-a)=(x²-√a²)=(x+√a)(x-√a)=0・・・(公式M²-N²=(M+N)(M-N)を利用）
より　x=-√a,√a　がもとまります

または3(x²-a)=0⇔(x²-a)=０　⇔x²=a
ゆえに　x=±√aと　しても良いです　ただしa>0・・・（a<0のときはルートの中身がマイナスとなるのでこのような考えかたは通用しません）