高校物理の質問です。 【問題】 図のように、水平な床に固定された半径r［ｍ］のなめらかな半円筒の頂点

高校物理の質問です。
【問題】
図のように、水平な床に固定された半径r［ｍ］のなめらかな半円筒の頂点Ａから質量ｍ［kg］の小球を静かに滑らせたところ、図の点Bで小球は円筒面を離れたとする。このとき、cosθ0の値を求めよ。
答え:2/3

僕は観測者はたまの上として力学的エネルギーの保存則より速さを求めて遠心力を出して
v=√2grcosθ0（ルートは全部にかかってる）
N+mv^2/r-mgcosθ0=0（Ｎは垂直抗力）
この式のＮが０の時をとこうとしましたがcosが消えてしまいできませんでした。
どこから間違っているのでしょうか。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/03/14 12:14

Bでの速度ｖはｍｇｒ（１－cosθ₀）＝1/2mv²からｖ＝√｛２ｇｒ（１－cosθ₀）｝

ｍｖ²/r=mgcosθ₀で、面を離れるので
２ｇ（１－cosθ₀）＝gcosθ₀
２（１－cosθ₀）＝cosθ₀
２＝３cosθ₀
cosθ₀＝２/3

この回答へのお礼

力学的エネルギーの保存則で立てたと思ってた式が間違ってました。
ありがとうございます！

お礼日時：2020/03/14 12:19

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/14 12:20

＞この式のＮが０の時をとこうとしましたが

N = mgcosθ
ですから、N がゼロになるのは θ = 90° のときですね。
垂直抗力は「重力が円筒面を押す力」の「反作用」ですから、遠心力には関係なく、円筒面のどの位置にいるかで決まります。

また、角度 θ のときの速度は、エネルギー保存則から「高さの差」で
　(1/2)mv^2 = mg(r - rcosθ) = mgr(1 - cosθ)
ですから
　v^2 = 2gr(1 - cosθ)
です。
従って、遠心力は
　F = mv^2 /r = 2mg(1 - cosθ)

円筒面を離れるのは、遠心力が N より大きくなればよいですから、
　N = mgcosθ ≦ 遠心力 = 2mg(1 - cosθ)
従って
　cosθ ≦ 2(1 - cosθ)

これを展開して整理すれば
　3cosθ ≦ 2
→　cosθ ≦ 2/3

離れる瞬間には
　cosθ = 2/3
です。

この回答へのお礼

毎回細かくありがとうございます！
いつも円から離れるときはＮ=0で考えていたけどNは場所によって違うだけで遠心力に関係ないんですね。すごい勘違いをしてました。
正確な理解ができるように頑張ります！

お礼日時：2020/03/14 12:27