ベクトル空間の格子と位相について Vをn次元実ベクトル空間、ΓをVの格子とする。 Γが離散部分群であ

ベクトル空間の格子と位相について


Vをn次元実ベクトル空間、ΓをVの格子とする。

Γが離散部分群であるとは任意のγ∈Γが孤立点である。つまり他のγの点を含まない近傍を持つような部分群です。

そもそもベクトル空間の部分集合であるΓに対しての位相はどのような位相なのでしょうか？

R^nには距離位相が定められますが、ベクトル空間に位相を入れ、近傍を定義しなければそもそもΓの近傍がどのようなものかわかりません。

つまり質問としてはRには距離位相が定義されているが、ベクトル空間V、その部分空間ガンマに対してはどのような位相が定義されているのかわかりません。教えてください。

ということです。解答よろしくお願い申し上げます。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/05 16:40

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11561524.html の続きでしょうか。

R^n に R の直積位相が入ることは解ったのですね？
V は成分表示によって R^n と同相ですから、距離位相が入ります。
Γ は V の部分集合なので V からの相対位相が入りますが...
＞ γ∈Γが孤立点である。つまり他のγの点を含まない近傍を持つ
の「近傍」は、Γ の位相ではなく V の位相での近傍の話ですよ。

成分表示によって同相と書いたのは、
V にひと組の基底 { b_k | k=1,2,...,n } をとると V の任意の元 x は
x = Σ[k=1,n] (x_k)b_k によって R^n の元 (x_1,x_2,...,x_n) と一対一に対応するが、
この対応を同相写像として V に R^n と同相な位相を入れることができるという意味です。
このようにして得られる V の位相は、基底 { b_k } のとりかたによらず同相です。