356(2)の黄色の線の部分でlimを調べる必要があることはわかるのですがこの黄色の式からなぜ0に収

356(2)の黄色の線の部分でlimを調べる必要があることはわかるのですがこの黄色の式からなぜ0に収束することがわかるのかを教えて戴けると嬉しいです。。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/05/04 14:14

分母の e は ネイピア数で 約2.71 位と云う事は分かりますね。

で、t を 1, 2 ・・・,10 と だんだん大きくしてみて下さい。
分母の方が 分子より どんどん大きくなっていきますね。
つまり その分数の値は どんどん小さくなっていきます。
従って、0 に近づく と云う事になります。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/05/04 14:21

分子の-2t-1よりも（と言うか、どんな多項式よりも）、分母のe^tの方が大きくなるスピードが圧倒的に速いから。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2020/05/04 15:52

一般に

1＋ｘ≦e(x)　がなりたちます。e(x)はeのｘ乗です。
ここでｘをｘ/2でおきかえると
1＋x/2≦e(x/2)　です。これからx≦2e(x/2)-2、両辺e(x)で割れば
x/e(x)≦2e(-x/2)-2/e(x)
ｘ＞0ならば
0＜x/e(x)≦2e(-x/2)-2/e(x)　がなりたちｘ→∞ならば右辺→0なので
はさみうちの原理でx/e(x)→0です。あとは
(-2x-1)/e(x)＝-2x/e(x)-1/e(x)→0-0＝0です。
あ、ｘをｔで読み換えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/04 16:25

指数関数のマクローリン展開 e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + ... は知っていますか？

この右辺は x > 0 で各項が正なので、e^x > (1/2)x^2 が言えます。
これを使って、(-2x-1)/{ (1/2)x^2 } < (-2x-1)/e^x < 0 です。
この式で x → +∞ とすると、ハサミウチの定理より lim (-2x-1)/e^x = 0 となります。
lim (-2x-1)/{ (1/2)x^2 } = 0 は解りますよね？
同じ方法で、任意の多項式 f について lim f(x)/e^x = 0 も導けます。
分母の e^x を、f(x) よりも次数の高い部分和で評価すればいいですね。