xe^xsinx これを部分積分するにはどうすればいいのですか？

xe^xsinx
これを部分積分するにはどうすればいいのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/28 15:47

部分積分を繰り返すことで元の積分と全く同じ積分が現れることを利用します

（９行目の「ここで」以下の部分積分の繰り返しで、再び１１行目に∫(e^x)'(sinx)dxが現れるのがその最たる例です！）

∫x(e^x)(sinx)dx=∫(e^x)'{x(sinx)}dx
=(e^x){x(sinx)}-∫(e^x){x(sinx)}'dx
=(e^x){x(sinx)}-∫(e^x){(x)'(sinx)+x(sinx)'}dx
=(e^x){x(sinx)}-∫(e^x){(sinx)+xcosx}dx
=(e^x){x(sinx)}-∫(e^x)(sinx)dx-∫(e^x)xcosxdx
＝(e^x){x(sinx)}-∫(e^x)'(sinx)dx-∫(e^x)'xcosxdx

ここで∫(e^x)'(sinx)dx=(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx
=(e^x)(sinx)-∫(e^x)'(cosx)dx
=(e^x)(sinx)-(e^x)cosx-∫(e^x)(sinx)dxだから
2∫(e^x)'(sinx)dx=(e^x)(sinx)-(e^x)cosx
∫(e^x)’(sinx)dx=(1/2){(e^x)(sinx)-(e^x)cosx}

∫(e^x)'xcosxdx=(e^x)xcosx-∫(e^x)(xcosx)'dx
=(e^x)xcosx-∫(e^x)(cosx-xsinx)dx
=(e^x)xcosx-∫(e^x)(cosx)dx+∫（e^x)(xsinx)dx


ですから
∫x(e^x)(sinx)dx=(e^x){x(sinx)}-∫(e^x)'(sinx)dx-∫(e^x)'xcosxdx
=(e^x){x(sinx)}-[(1/2){(e^x)(sinx)-(e^x)cosx}]-[(e^x)xcosx-∫(e^x)(cosx)dx+∫（e^x)(xsinx)dx]
ゆえに
2∫x(e^x)(sinx)dx=(e^x){x(sinx)}-[(1/2){(e^x)(sinx)-(e^x)cosx}]-[(e^x)xcosx-∫(e^x)(cosx)dx]

あとは　　同じ要領で、∫(e^x)(cosx)dxの部分積分から２∫(e^x)(cosx)dxを求めてあげる方法で
∫(e^x)(cosx)dxもわかりますから
2∫x(e^x)(sinx)dx=がわかります
(1/2)倍すれば答えです

（上記には計算ミスがありそうなので、注意深くご自分で部分積分してみて下さい）

この回答へのお礼

ありがとうございました！
同じになったので多分あってます！

お礼日時：2020/05/28 18:43

No.2 回答者： springside 回答日時： 2020/05/28 13:25

下記のWebページにxe^(x)sin(x)と入力してGo!

で、Show stepsで判る。

https://www.integral-calculator.com/

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/28 12:36

x(e^x)(sinx)?

xe^(xsinx)?

この回答へのお礼

上です！

お礼日時：2020/05/28 15:10