全てのx＞0に対して xe^(-x^2/2)/(1+x)≦∫[x,∞]e^(-t^2/2)dt≦e^

全てのx＞0に対して

xe^(-x^2/2)/(1+x)≦∫[x,∞]e^(-t^2/2)dt≦e^(-x^2/2)/x

を示せという問題が分かりません。発想や大雑把な流れだけでも教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

• えーっと…宿題ではなくて答えがほぼない問題集やってます。確かに大学生ではありますが講義はテスト一発勝負で宿題とかはないので…怒らせたなら申し訳ないです。

    補足日時：2023/01/14 00:24

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/14 00:35

成立しないので示せない。

s=t/√2と変数変換すると
　∫[x,∞]e^(-t^2/2)dt=√2∫[x√2,∞]e^(-s^2/2)ds
　=(√2)((√π)/2)erfc(x/√2)=(√(π/2))erfc(x/√2)
なので、
　f(x)=xe^(-x^2/2)/(1+x)
　g(x)=∫[x,∞]e^(-t^2/2)dt
　h(x)=e^(-x^2/2)/x
として、プロットすると図のようになり、
　f(x) (青)≦g(x) (赤)≦h(x) (緑)
が成立しない。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/17 17:30

{-e^(-t^2/2)/t}'

=e^(-t^2/2)+e^(-t^2/2)/t^2
=(1+1/t^2)e^(-t^2/2)

∫_{x～∞}(1+1/t^2)e^(-t^2/2)dt
=[-e^(-t^2/2)/t]_{x～∞}
=e^(-x^2/2)/x

e^(-t^2/2)≦(1+1/t^2)e^(-t^2/2)

∫_{x～∞}e^(-t^2/2)dt≦∫_{x～∞}(1+1/t^2)e^(-t^2/2)dt

↓∫_{x～∞}(1+1/t^2)e^(-t^2/2)dt=e^(-x^2/2)/x　だから

∴
∫_{x～∞}e^(-t^2/2)dt≦e^(-x^2/2)/x

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/14 08:12

訂正

s=t/√2と変数変換すると
　∫[x,∞]e^(-t^2/2)dt
　=√2∫[x√2,∞]e^(-s^2)ds ←●
　=(√2)((√π)/2)erfc(x/√2)=(√(π/2))erfc(x/√2)

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/14 00:23

中央の積分で原始関数が (初等関数で) 書けない, というのが根本だとするなら

原始関数が初等関数で書けるような被積分関数ではさむ
という方法は思い付くかなぁ... どういう関数を使えばいいのかわからんけど.

この回答へのお礼

ありがとうございます！参考にしてみます！

お礼日時：2023/01/14 00:24

No.1 回答者： 千里朱音 回答日時： 2023/01/14 00:22

ここは宿題お助けサイトではありません。

自分の力で解きましょう。