複素関数論

画像の変換①z=1/2(w+1/w)を考えるとします。Ｈ（双曲線）は（±cosθ,0）で交わり、（±１,0)を焦点とします。ここで、
（１）ｗ平面の円の半径の像（❘ｗ❘＜１において？）は双曲線Ｈの１つの枝の半分とあるのですが、どういうことでしょうか？
（２）変換①は双曲線の２つの枝の間の領域を円上領域へ写す写像となる。
とあるのですが、ｚ平面上の双曲線Ｈの間の領域はもともとｚ平面からのぞいていた❘ｘ❘＜１の部分を動いていて、これはおかしいと思うのですが、どういうことなのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/06/06 06:07

(1)

w平面において、θを１つ決めると（0<θ<π/2なら、z平面の右側の曲線）、z平面の双曲線は
　ρ=0 →1 で、右下斜め右∞からx軸まで
　ρ=1 → ∞で、x軸から右上斜め右∞まで
となります。

つまり、1つの枝とは双曲線の２つある対の1つの曲線を指し、x軸で分けられた上下の半分づつ
を指すものと思われます。

(2)
w平面で、1つのθを決めても、z平面では１本の双？曲線しか決まらない。w平面で、θと(π-θ)
の2つの組を指定すると、z平面で「双曲線」になる。2つの枝というのがこのことなら、z平面
のこの間の領域は、w平面で、
θ～π-θ・・・・①
の扇型の領域になる。

そこで、「円上」というとρ=一定である。するとこのw平面上の曲線はz平面では
x²/(ρ+1/ρ)²+y²/(ρ-1/ρ)²=1・・・・②
の楕円となる。したがって、θを①の範囲で、ρを変えていけば、2つの双曲線の間の領域となる。
逆に言うと、このz平面の領域は、w平面では、①の扇形の範囲で、ρ=一定（0～∞まだ変化さ
せた）の円上の領域に対応する。

となるが、あまりに、言明や対象が何を指すか不明確なので、確実なことは言えない。

この回答へのお礼

ありがとうございます、解決しました

お礼日時：2020/06/06 19:17