数学Iの平方完成について質問です。 1. y＝2x^2-6x＋1のグラフをx軸方向に-3、y軸方向に

数学Iの平方完成について質問です。
1. y＝2x^2-6x＋1のグラフをx軸方向に-3、y軸方向に4だけ平行移動したもの。
という問題で解いていく中で、y＝2(x-3/2)^2
になる所までは分かるのですがそこから
2(x-3/2)^2-7/2となるのが分かりません。-7/2はどこから来たのでしょうか？
そして、x軸方向に-3、y軸方向に4だけ平行移動というのはどう計算すればいいのでしょうか？

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/06 14:25

y＝2(x-3/2)^2になるところまではわかるなら、あとは簡単です

展開して、2(x-3/2)^2=2x^2-6x+(9/2)ですから
末尾の9/2は副産物で余分です
ゆえにこれを打ち消すために
y＝2(x-3/2)^2-(9/2)としてあげます
そしてもともとあった+1も忘れずに書いて
y=2(x-3/2)^2-(9/2)＋１となります
整理して
y=2(x-3/2)^2-(7/2)です
この形から与えられた2次関数のグラフの頂点が(3/2,-7/2)であることが分かりますから
平行移動によってグラフの頂点はx=(3/2)-3=-3/2
y=(-7/2)+4=1/2
つまり(-3/2,1/2)に移ることが分かります
ゆえに平行移動後のグラフを表す式はこの頂点の座標を用いて
y=2{x-(-3/2)}²+1/2=2(x+3/2)²+1/2　（左端の２は平行移動しても変わらないというのがポイント）
展開すれば
y=2x²+6x+5と求められます

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/06 14:02

y = 2(x - 3/2)^2 にはなりません。

平方完成は、2x^2 - 6x + 1 = 2(x^2 - 3x) + 1 = 2{ (x - 3/2)^2 - 9/4 } + 1 = 2(x - 3/2)^2 + 2(-9/4) + 1 = 2(x - 3/2)^2 - 7/2.
とすればよいです。 x^2 - 3x と二次項一次項が同じである平方式 (x - 3/2)^2 の定数項も x^2 - 3x と同じになるように
x^2 - 3x = (x - 3/2)^2 - 9/4 とする。 後は上式の { } を展開すれば、2(-9/4) + 1 = - 7/2 が出てきます。

ところで、y = 2x^2 - 6x + 1 のグラフを平行移動するためには、平方完成する必要はありませんよ？
x軸方向に-3、y軸方向に+4平行移動するなら、式の x を x-(-3) で、y を y-(+4) で置き換えて
y-4 = 2(x+3)^2 - 6(x+3) + 1 にすればいいだけです。 後は展開整理して y = 2x^2 + 6x + 5 になる。
一度平方完成して、移動して、また展開するというのは、二度手間三度手間です。

y = 2x^2 - 6x + 1 上の点を (p,q)、それをx軸方向に-3、y軸方向に+4平行移動した点を (u,v) とすると、
q = 2p^2 - 6p + 1, (u,v) = (p,q) + (-3,4) なので、式から p,q を消去するときに
p = u-(-3), q = v-(+4) を代入することになって、 v-4 = 2(u+3)^2 - 6(u+3) + 1.
そのような (u,v) が乗っている曲線は、 y-4 = 2(x+3)^2 - 6(x+3) + 1 だからです。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/06/06 13:54

1次式でも 2次式でも 考え方は同じです。

y=f(x) のグラフを x 軸に沿って n 、y 軸に沿って m 平行移動した式は、
y-m=f(x-n) となります。

つまり y=2x²-6x+1 のグラフを、x軸方向に-3、y軸方向に4だけ平行移動したものは、
上の式で、n=-3, m=4 とすればよいので、
y-4=2(x+3)²-6(x+3)+1 → y=2x²+6x+5 。

平方完成から考えると、
y=2x²-6x+1=2(x²-3x)+1=2[{x-(3/2)}²-(9/4)]+1
=2[{x-(3/2)}²]-(9/2)+(2/2)=2[{x-(3/2)}²]-(7/2) 。
ここで x の代わりに x+3 、y の代わりに y-4 を代入すれば良いのです。
係数が 分数ですから、かなり めんどくさい計算になりますね。
平衡移動した式を求めるだけ ならば、平方完成などと云う 操作は 必要ありません。

＞y＝2(x-3/2)^2 になる所までは分かるのですが

だったら、y＝2(x-3/2)^2 を 展開して、元の式と比べてみて下さい。
その差は 幾つですか。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/06/06 13:28

y＝2x²-6x＋1 = 2(x-3/2)²-7/2 だよ。

右辺を展開すると、2(x²-3x+9/4)-7/2=2x²-6x+9/2-7/2=2x²-6x+1