423の問題で、y´≧0なのに、判別式をする時になぜ0以下になるのか分からないので教えてください！

答えはp≦1-√3/2, 1+√3/2≦pです！

Question

423の問題で、y´≧0なのに、判別式をする時になぜ0以下になるのか分からないので教えてください！

答えはp≦1-√3/2, 1+√3/2≦pです！

tekcycle · Accepted Answer

と、判別式って何だっけ？
と解ってないことが判ったのですから、教科書参考書でまずそこを調べ直しましょう。
そうやって躓くことが大事ですし、躓いたら教科書参考書で周辺含めて勉強し直すことがもっと大事です。
そうすると、割と根本からの理解ができるようになります。
諦めずに繰り返すことです。

ｙ＝ｘ²
ｙ＝ｘ²＋１
ｙ＝ｘ²－１
三本のグラフを描いて下さい。
ｙ＝ｘ²を上に(ｙのプラス方向に)１平行移動した物と、下に(ｙのマイナス方向に)１平行移動した物と、となります。
各々、ｙ＝０のとき、つまりｘ軸との関係はどうなっているでしょうか。
また、各々の判別式はどうなっているでしょうか？

実数平面上の二次式って、「平方完成」をしてやると、必ず、ｙ＝ａ(ｘ－ｂ)²＋ｃの形になります。
これは、ｙ＝ａｘ²を、ｘ方向にｂ、ｙ方向にｃ、平行移動した物、です。
ｘ軸に対して上か下かを考える場合、ｘ方向への移動は無視して良いので、ｂ成分を無くすように平行移動しちゃうと、
ｙ＝ａｘ²＋ｃ
という式の話をしていることになります。ｙ＝ａｘ²をｙ方向にｃ平行移動した物。
ａ＞０なら、ｃが負であれば、グラフがｘ軸を跨ぎ、2解を持つ、０なら重解一つ、正なら解無しというか虚数解をもつというか。
ａ＜０なら、上記の逆。

さて、今度は、ｙ＝ａｘ²＋ｓｘ＋ｔを平方完成してみましょう。
＝ａ{ｘ²＋(ｓ／ａ)ｘ＋(ｔ／ａ)}
＝ａ{ｘ²＋２(ｓ／２ａ)ｘ＋(ｓ／２ａ)²－(ｓ／２ａ)²＋(ｔ／ａ)}
＝ａ{ｘ＋(ｓ／２ａ)}²＋ａ{－(ｓ／２ａ)²＋(ｔ／ａ)}
＝ａ{ｘ＋(ｓ／２ａ)}²＋ａ{－(ｓ²／４ａ²)＋(４ａｔ／４ａ²)}
＝ａ{ｘ＋(ｓ／２ａ)}²＋(ａ／４ａ²){－ｓ²＋４ａｔ}
＝ａ{ｘ＋(ｓ／２ａ)}²－(ｓ²－４ａｔ)／４ａ

ｓ²－４ａｔ、どこかで見たことがありますよね。
ａ＞０のとき、(ｓ²－４ａｔ)＞０なら－(ｓ²－４ａｔ)／４ａは負になるので、グラフがｘ軸を跨ぐから2解を持つ。
ａ＜０のとき、(ｓ²－４ａｔ)＞０なら－(ｓ²－４ａｔ)／４ａは正になるので、グラフがｘ軸を
跨ぐから2解を持つ。
なんてことになります。

更に、ｙ＝０のとき、
ａ{ｘ＋(ｓ／２ａ)}²＝(ｓ²－４ａｔ)／４ａ
{ｘ＋(ｓ／２ａ)}²＝(ｓ²－４ａｔ)／４ａ²
ｘ＋(ｓ／２ａ)＝±√{(ｓ²－４ａｔ)／４ａ²}
＝±{√(ｓ²－４ａｔ)}／２ａ
ｘ＝－(ｓ／２ａ)±{√(ｓ²－４ａｔ)}／２ａ
＝[－ｓ±{√(ｓ²－４ａｔ)}]／２ａ
これもどこかで見たことがあるでしょう。二次方程式の解の公式です。
ここから見ると、
ｓ²－４ａｔ＜０なら平方根の中身が負となり虚数となる。虚数解を持つのは、グラフがｘ軸と交わらないし接しもしないとき。
ｓ²－４ａｔ＞０なら平方根の中身が正となり実数となる。実数解を二つ持つのは、グラフがｘ軸と交わるとき。
ｓ²－４ａｔ＝０なら平方根の中身が０となる。実数解を一つしか持たない。これは、グラフがｘ軸と接している場合、となります。

というようなことを、可能なら自分で参考書から学び取れると、以前は何だかよく解らなかったことが、今は意味を持って見えてくるかもしれないのです。

その問題に戻ると、ｙ'がずっと正でいることが求められるので、上記の議論で、ずっと正であるにはどういう条件が必要なのか、ということになります。
例えば、ａが負では、ｃやつまり判別式によっては、一部区間が正になることはあってもｘの絶対値が大きくなると、そのうち必ずｘ軸を跨いで負になるのです。この問題ではａ＞０なので議論しなくて良い事ですがね。

kairou · Answer

元の式は 3次関数ですから、導関数は 2次式になります。
その2次式が常に 0 以上と云う事は、y=f'(x) のグラフが
x 軸と2つの交点を持たないと云う事です。
（言い変えると f'(x)=0 を満足する 実数の x の値が1つ以下 と云う事です。
従って、導関数の 判別式は 0 以下になります。

takoハ · Answer

図で考えてください！

x^3の係数が1と正の場合は、一般には、
増加→極大値→減少→極小値→増加  ……(1)となります。
この3次関数を微分すれば、各点における接線の傾きになりますから、傾きは、
徐々に減少して行き、ゼロから減少から増加して、ゼロになって、増加して行きます。
……(2)
ここでは、単調増加ですから、(1)の減少がない！つまり(2)のゼロ未満から減少から増加してゼロ未満までの部分がないことになり、2次関数で言えば、判別式が負でない
という意味になります。D ≦ 0

判別式において、実数解があるかどうかと、
今回のようなこととは別物です。
例えば、2解とも正とかの問題と類似ですね！
問題の意味をよく考えて回答してくださいね！

ありものがたり · Answer

そこが疑問なのであれば、
判別式=0 のときに何が起こるか考えてみましょう。

y’ が x の２次多項式で、その判別式が = 0 の場合、
x の２次方程式 y’=0 は、重根を持ち、
それが y'=0 の唯一の解になります。
それ以外の x では y’>0 になりますが、
y’=0 となる x があったら、「単調増加」ではないのです。

少しややこしいのは、
単調増加には、実は２種類あることです。
常に y’＞0 であることを「狭義単調増加」、
常に y’≧0 であることを「広義単調増加」といいます。
ただし、狭義/広義を頭に付けずに「単調増加」といったら
狭義単調増加のことなので、今回は上記のようになります。
広義単調増加になる条件なら、判別式≧0 です。

お茶碗持つ方 · Answer

y=x³+(p+1)x²+p²x+1 
が単調増加するのだから、
y’=3x²+2(p+1)x+p²≧0 
が常に成り立てばよい。
  3x²+2(p+1)x+p² 
=1/3 {9x²+6(p+1)x+3p²} 
=1/3 {(3x+p+1)²-(p+1)²+3p²} 
=1/3 {(3x+p+1)²+2p²-2p-1} 
=1/6 {2(3x+p+1)²+(2p-1)²-3} 
となるので、
(2p-1)²-3≧0 
(2p-1+√3)(2p-1-√3)≧0 
p≦(1-√3)/2, (1+√3)/2≦p 
ならば、x がどの実数値を採っても y’ は負にならないので y は単調増加する。
となります。
単純な式の変形だけで、判別式は使いません。
高校程度の数学では判別式は必要ありません。

masterkoto · Answer

「y'の符号」と「y'の判別式の符号」とは別物です。
・与えられた関数(のグラフ)が単調増加とは、増減表のy'欄にマイナスとなる区間(y'<0となる区間)が全く無いという事です。
例としてy=ax+1と言う1次関数のグラフなら、ｙ’=aですから増減表のy'の欄はaの符号をそのまま書くことになります
「y=ax+1が単調増加となるようにaの範囲を定めよという」場合なら増減表のy'欄にマイナスがあってはいけないので、そうならないためにはa≧0でないといけないことになります。
・423でも要領は同じ、増減表のy'欄がどの区間でも0かプラスであればよいので、どの区間でもy'=3x²+2(p+1)x+p²≧０であればよいのです。ただこの場合y'がｘの2次関数なので、y=ax+1の例のように、一目でy'≧０となるための条件を見つけることは出来ません。
そこで、y'=Y(大文字)と置いて
Y=3x²+2(p+1)x+p²…①のグラフのY座標が常に0以上になるのはどのような場合かを考えるのです。（この時点で一旦問題文423のことは忘れ、y'のことも忘れておきましょう！放物線①のグラフのY座標が常に0以上になる条件だけを考えるようにします。)
このグラフはｘの2次関数なので、グラフは下に凸の放物線ですからその頂点がy軸より上にくればY座標は常に0以上です。
という事で頂点を調べ（頂点のY座標）≧０となるようなPの範囲をもとめるのが１つの解法です。
これは頂点を考える代わりに、放物線のグラフがx軸と交わらない（D<0)、またはx軸と1点で接する（D=0)と考えても同じですので、後者の考え方ならD≦０が条件となります。

Pの範囲が求められたらYとは本来y'のことであるというのを思い出します。
するとここまでで求めたｐの範囲が単調増加の条件という事になります。

スチールウール · Answer

y'は二次式で常に正
つまり、y'のグラフを考えたらx軸より上に浮いている=x軸と交わらず解が無いから判別式は負

konjii · Answer

ｙ＝ｘ³＋（Ｐ＋１）ｘ²＋Ｐ²ｘ＋１
ｙ’＝３ｘ²＋２（Ｐ＋１）ｘ＋Ｐ²＞０（等号は増加のない時も含みます）
ｙ’＝ｆ（ｘ）二次関数と考えて、ｆ（ｘ）＞０になるには
ｆ（ｘ）のグラフはｘ軸と交差又は接しない事です。これは、判別式Ｄ＝ｂ²－４ac<0のときになります（実数解を持たない）。
よって、４（Ｐ＋１）²－１２Ｐ²＜０です。
　　ｆ（Ｐ）＝－２Ｐ²＋２Ｐ＋１＜０の範囲は（ｆ（Ｐ）はＰと交差し、下に開いた放物線なので、負の範囲は2つあります）
Ｐ＜（２－√３）/2、Ｐ＞（２＋√３）/2
となります。

varietyknowledge · Answer

y=x^3 ＋ (p+1)x^2 + (p^2)x + 1の導関数y'は、
y'=3x^2 + 2(p+1)x + p^2

yは単調増加ということは、yが極値をもたないことを意味します。
つまり、導関数y'は重解になるか、実数解を持たないかのいずれかになります。
よって、y'の判別式は0以下になります。

y'の判別式は、
(-2(p+1))^2 - 4×3×p^2≦0
4(p^2 + 2p + 1) - 12p^2≦0
4p^2 + 8p + 4 - 12p^2≦0
-8p^2 + 8p + 4≦0
2p^2 - 2p -1≧0

2p^2 - 2p -1に解の公式を適用すると、
p=(2±√(2^2 - 4×2×(-1)))/(2×2)
=(2±√(4+8))/4
=(2±√12)/4
=(2±2√3)/4
=(1±√3)/2

ゆえに、p≦(1-√3)/2, (1+√3)/2≦p

423の問題で、y´≧0なのに、判別式をする時になぜ0以下になるのか分からないので教えてください！

と、判別式って何だっけ？

元の式は 3次関数ですから、導関数は 2次式になります。

図で考えてください！

そこが疑問なのであれば、

y=x³+(p+1)x²+p²x+1

「y'の符号」と「y'の判別式の符号」とは別物です。

y'は二次式で常に正

ｙ＝ｘ³＋（Ｐ＋１）ｘ²＋Ｐ²ｘ＋１

y=x^3 ＋ (p+1)x^2 + (p^2)x + 1の導関数y'は、

似たような質問が見つかりました

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

関連するカテゴリからQ&Aを探す

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング