第n次微分係数、ライプニッツの公式

√(1-x^2) をライプニッツの公式を用いて漸化式にした後、x=0での第n次微分係数を求める問題ですが、どのように解けば良いのでしょうか？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/06/15 23:10

> どのように

この場合 「√(1-x^2)の導関数にはまた √(1-x^2)が出てくるな」ということに気づく、というトンチが要求される。

[1] まずは
　　f(x) = √(1-x^2)
として、f’(x) = df/dx を計算する。
[2] その結果を使って、
　　p(x) f(x) + q(x) f’(x) = 0
という格好になるp(x), q(x)を作る。このときp(x), q(x)が多項式であることが肝心だな。
　（もしそういうp(x), q(x)が作れないようなら、さらにf’’(x)を計算して
　　p(x) f’(x) + q(x) f’’(x) = 0
とか、
　　p(x) f(x) + q(x) f’(x) + r(x) f’’(x) = 0
とかを考える。）
[3] 左辺のn階微分を考える。（和の微分の公式を思い出せば、項別にn階微分すればいいとわかる。）最初の項のn階微分　(p(x) f(x))^(n) （*^(n)はn階微分のことね）にライプニッツの公式を適用したものを書き下してみれば、（n階微分の話だから一般には(n+1)個の項から成る式になるわけだが、実際には）p(x)は多項式なんで、何階か目の微分から先が0になっちゃうので、結局、少数の項だけでできた短い式が得られる。
[4] 同様に（q(x) f’(x))^(n)にライプニッツの公式を適用したものを書き下す。
[5] （やってみればわかると思うが、）これで （p(x), q(x)とその何階かの導関数を含む）f^(n)に関する漸化式が得られる。
[6] そしてx=0を代入すると、（やってみればわかると思うが、p(x), q(x)とその何階かの導関数はどれもただの定数になっちゃって） 階数nに関する(f^(n))(0)の漸化式が得られる。
[7] 初項は簡単に計算できる。これで、漸化式を繰り返し適用するだけで(f^(n))(0)が計算できる、というところまで来た。
[8] もしこの漸化式が首尾よく解けて一般項を答えられたら、文句なし。

というように、です。