微分方程式の解き方がわかりません...教えてください！

以下の微分方程式の初期値問題を t>0 で解き，x が大域解となる p の範囲を決定せよ．
x'(t) = x^p, x(0) = 1, t>0
という問題について教えていただきたいです．

まず，微分方程式を解くことに関してですが，ベルヌーイの微分方程式の形をとると考えて解いてみたのですが，途中で最後の解答の形が不自然になってしまったように感じ，行き詰ってしまいました．
次に，p の範囲を決定することに関してですが，リプシッツ条件に当てはまる p の値を調べることができれば，それが解になると考えました．リプシッツ条件ででてくる式にそのまま代入して解けばいいのでしょうか．

つたない言葉で申し訳ないのですが，教えていただけたら幸いです．
どうぞよろしくお願いします．

質問者からの補足コメント

• 最初に微分方程式を自力で解いてみたものになります．
  画像になっていてすみません...

  
    補足日時：2020/06/20 00:21

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/18 16:01

後半：

前半の答えで既に、解が存在するとすればどんなものでなければならないか
は限定されているから、今更Picardの定理でもない。
p = 0,1 の場合は大域解であることが判っているし、
そうでない場は x = { 1 + (1-p)t }^{ 1/(1-p) } だから
1 + (1-p)t ≠ 0 の範囲で局所一意解の存在も判っている。

1-p > 0 であれば、t > 0 の範囲で 1 + (1-p)t > 0 だから 解は大域一意解である。
1-p < 0 であれば、t < 1/(p-1) の範囲で一意解が存在するが、
t = 1/(p-1) の近傍でリプシッツ条件が成立しない。
実際、t → 1/(p-1) で { 1 + (1-p)t }^{ 1/(1-p) } → +∞ であり、
この解は t > 1/(p-1) へ延長できない。

異常より、解が t > 0 での大域解となるのは
p ≦ 1 の場合である。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/18 13:17

前半：

それを聞くなら、質問文に
不自然になってしまったように感じたあなたの解と
その途中計算も書こうよ。
案外、正解なのかもしれないし、
間違っているとしたら、大切なのはどこで間違ったか
でしょ？

今回の方程式は、
ベルヌイ型といえばベルヌイ型ではあるんだけれど、
係数が定数なので、ベルヌイ型とか雲龍型とか出番は無くて
すぐに変数分離できる。

p ≠ 0 のとき
(x^-p)x'(t) = 1 を x で積分して
p ≠ 1 ならば { 1/(-p+1) }x^(-p+1) = t + C (Cは定数).
t→+0 の極限を考えると、{ 1/(-p+1) } = 0 + C.
よって、p ≠ 0, 1 の場合は x = { 1 + (1-p)t }^{ 1/(1-p) }.
p = 0 の場合は、x'(t) = 1, x(0) = 1 を解いて x = t + 1.
p = １ の場合は、x'(t) = ｘ, x(0) = 1 を解いて x = e^x.

この回答へのお礼

前半と後半にそれぞれ回答していただき，本当にありがとうございます．

まず，自分で解いた計算のことですが，その通りだなと思いました．
こういった質問をするのに不慣れだったもので，勝手があまりよくわかっていませんでした．
アドバイス，ありがとうございます．
一応ですが，補足のほうで画像を添付させていただきました．
今後こういった質問をする際は，気を付けようと思います．

t→+0　の極限を取ることにして，同時に　x→+1　の極限も取る，というような解釈で正しいでしょうか．
また，申し訳ないのですが，大域解とは何か，かみ砕いて教えていただけませんか．
よろしければ回答いただけたら嬉しいです．

丁寧に回答していただいてありがとうございました．

お礼日時：2020/06/20 00:32