数学Aについて質問です。 下の画像の問題について、解答などを見たのですが、5色と4色と3色で塗る場合

数学Aについて質問です。
下の画像の問題について、解答などを見たのですが、5色と4色と3色で塗る場合に分けて考えていたのですが、どうしてその考えにして、答えになるのかが分かりません。
数学に詳しい方いましたら解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• tsuyoshi2004さん
  5色塗る時の式はシンプルでわかったのですが、4色のように、B,E、B,D、C,Eと分けるのは具体的にどういう方法で上手くわけられるのでしょうか？
  自分で図を使って、色分けしてもB,Eにしか分けられません。

    補足日時：2020/06/19 12:30

• すいません、4色までの計算はわかったのですが、3色の場合の計算が分かりません。
  解答では、3色の場合は5P3＝60通りとなっていました。
  これはどうしてB,DとC,Eの2通りに分けられるのに、4色の時のように、今回は×2をしないで、60通りにするのでしょうか？
  そこが分かりません。

    補足日時：2020/06/19 12:38

No.4 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2020/06/22 09:15

＃２です。

図の５つの領域を４色で塗るには・・・・
Ａに塗る色はＢ，Ｃ，Ｄ，Ｅのいずれとも違う
Ｂに塗る色はＡ，Ｃのいずれとも違う
Ｃに塗る色はＡ，Ｂ，Ｄのいずれとも違う
Ｄに塗る色はＡ，Ｃ，Ｅのいずれとも違う
Ｅに塗る色はＡ，Ｄのいずれとも違う
この条件を満たすには、
（Ａ，ＢとＤ、Ｃ，Ｅ）、（Ａ、ＢとＥ、Ｃ，Ｄ）、（Ａ、Ｂ，ＣとＥ、Ｄ）の３通りしかありません。
もう少し突っ込んで考えると、Ａの色は他のいずれとも違うので、
Ｂ～Ｅの４箇所から隣り合わない２箇所を選ぶことです。
ということで４色で塗るのであれば３通りの塗り分け方があるということです。
塗り分けの条件とそれを満たす塗り分け方については、順列・組合せというよりも幾何の領域の問題ではと思います。

同様に３色で塗るには、
（Ａ、ＢとＤ、ＣとＥ）以外に条件がないということです。
したがって、ＡとＢとＣに塗る色を決めてしまえば、残るＤとＥは必然的に決まってしまいます。
５色から順にＡ，Ｂ，Ｃを決める順列になるということです。

ただし、何色で塗るのかによって、場合分けをするとするならば、
まずはその使う色の組合せを決めてから、その色数による塗り分け方を考えるのが順当ではと思います。
※もちろん結果としては同じ計算になるのですが、考え方の話です。

順列・組合せ（さらには確率）の問題というのは、順序付けをして一つずつ確実に解いていかないと重複や漏れが発生しやすいので、手順を追って解いていくことが重要です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/18 16:14

＞ どうしてその考えにして、答えになるのかが分かりません。

それを質問するのであれば、
あなたが解らなかった解答解説をここに書かなければ意味がないでしょう？
完璧な別解を見せられても、それで先の解答が理解できるようになるわけでもない。

答えの得かたとしては、No.1 の言うとおりだと思います。
使う色の数で場合分けするという解法は、いかにも思いつきやすくて
参考書が好みそうではあるけれど、色数を定めた後での塗り分けかたの数え上げが
煩瑣で間違いを起こしやすい。安易に手をつけられるが後で嵌まる解法より、
最初にちゃんと頭を使って見通しのよい解法をとるほうが上等だと思います。
あなたの「分かりません」は、意外といいセンスなのかもしれません。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/18 15:55

５色のうち何色か使うということは

5色全部を使っても良いし
1色使わず4色だけで塗り分けても良いし
3色でも良いということです
ただし図形的に2色で塗ると必ずどこかは同色が並んでしまうので2色以下での塗り分けは不可です
ということで実際には５，４，３色で塗るケースが存在します

５色で塗るケース〇通り
４色で塗るケース△通り
３色で塗るケース□通り
2色で塗るケース０通り
1色で塗るケース０通り

ですから
例えば、3色または4色で塗るケースは全部で△+□通りということになりますし
2色以下で塗るケースは0+0=0通り　ということになります

さて、問題文は　使う色が何色か具体的に指定しているわけではなく　
「これら5つのケースすべてを合計すると何通りになるか」というように受け取れます！　
だから丁寧にすべてのケースを計算するなら
求めるべき総数＝５色で塗るケース〇通り+４色で塗るケース△通り+３色で塗るケース□通り+2色で塗るケース０通り+1色で塗るケース０通り

として計算することになります
ただ、2色以下は塗り分け不可能（0通り）と分かっているので　これらを無視して模範解答では
求めるべき総数＝５色で塗るケース〇通り+４色で塗るケース△通り+３色で塗るケース□通り　としているのです

No.1 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2020/06/18 15:07

まずは、Ａに塗れる色は５通りあります。

がＡに塗った色は他のＢＣＤＥのいずれにも塗れません。
したがって、Ｂに塗れる色は４通りです。
Ｃに塗れる色はＡとＢに塗った色以外の３通りです。
Ｄに塗れる色はＡとＣに塗った色以外の３通りです。
Ｅに塗れる色はＡとＤに塗った色以外の３通りです。
したがって求める組合せは５×４×３×３×３＝５４０通り

で合ってるかなぁ？

おそらく何色で塗るかを考えるほうが複雑なのではと思います。
５色で塗るのは、単純に５！＝１２０通り
４色で塗るのは、塗る４色の選び方が５通り
　塗り分け方は二箇所に塗る場所はＢとＤ、ＢとＥ、ＣとＥの３通りなので、
　塗り分けかたは５×３×４！＝３６０通り
３色で塗るのは、塗る３色の選び方が１０通り
　塗り分け方はＡ、ＢとＤ、ＣとＥの一通りなので、
　塗り分け方は１０×３！＝６０通り

で、合計５４０通りということでしょう。