数学の質問です。 (問題) a,bを自然数とし、不等式 |a/b - √7|

Question

数学の質問です。
(問題)
a,bを自然数とし、不等式
|a/b - √7| < 2/b*4・・・（Ａ）
を考える。ただし、2.645<√7<2.646であること、√7が無理数であることを用いて良い。
(１)不等式（Ａ）を満たしb>=2である自然数a,b に対して
|a/b + √7|<6
であることを示せ。
(2)不等式（Ａ）を満たす自然数a,bの組のうち、b>=2であるものをすべて求めよ。

という問題なんですが、（２）で(a,b)=(8,3)
と求めることができるのですが求めただけだと必要条件であるから値が実際に（Ａ）を満たすことを確認しなければならないらしいのですがなぜ確認しないといけないのかわかりません。
どこで必要条件とわかるんですか？

ありものがたり · Accepted Answer

＞ xの方程式を解いただけのときは必要条件とわかるだけで、代入してその値が成立てば必要十分条件になるということですか？
そうです。方程式に限ったことではないですが、数学で
○○だから□□、□□だから■■、… と演繹を繰り返した場合、最後に出てくる結論は
問題の条件を満たすための必要条件です。
(○○ならば■■)が成立するときの■■が、○○であるための必要条件でしたよね？
これが必要十分条件でもあるためには、演繹の各ステップ
(○○ならば□□)、(□□ならば■■)等が全て必要十分でなければならない。
途中に1個でも十分でないステップがあったら、全体として必要十分にはなりません。
個々のステップが必要十分であることを示してゆくやり方もあり得るわけで、
連立でない一次方程式とか、二次方程式とかは、通常そのやり方で必要十分性を確保します。
そのやり方が通用する問題のほうがむしろ少数派で、
演繹すれば必要十分とは限らない、最後に十分性の確認を要する問題のほうが多いのです。
その代表的な例が、「代入」です。代入を行えば、十分性は保証されないと思ったほうがいい。

＞ 連立方程式
＞ x+y=3....①
＞ x-y=4.....②
＞ ①＋②である2x=7は必要条件であり十分条件ではない
その場合、(①かつ②かつ2x=7)は(①かつ②)であるための必要十分条件であり、
この方程式の場合は式を節約して(①かつ2x=7)や(②かつ2x=7)も(①かつ②)の必要十分条件なのですが、
一般の連立一次方程式を考えるときに(①かつ第3の式)と(②かつ第3の式)のどちらが
(①かつ②)の必要十分条件かを事前に区別することはあまり簡単ではありません。
だから、最後に十分性を確認したほうが安全なのです。
実は、この例にも代入は関係していて、①＋②を行うということは
②を y=x-4 と変形して①へ代入したことと同じ効果を持ちます。どちらも 2x=7 が得られますね？
代入は、日常頻繁に行われる操作ですが、十分性が損なわれる可能性のある要注意事項なのです。

ありものがたり · Answer

＞ xの二次方程式を解いて解が出たらそれは必要条件ですか？
もちろん。 二次方程式を解いて解が出たら、それは必要条件です。
必要十分条件でもありますが、そのことによって必要条件でなくなるわけではありません。
必要十分条件は、常に必要条件でもあります。

＞ 十分条件でないとどうやったらわかるんですか？
もし、( (a,b)=(8,3) ) ⇒ (A) が成り立たないのであれば、
(a,b)=(8,3) は (A) であるための十分条件ではなく、
したがって必要十分条件ではないことになります。 
しかし、この問題の場合、( (a,b)=(8,3) ) ⇒ (A) は成り立っています。
(a,b)=(8,3) は実際、 (A) であるための必要十分条件ですから、
これが「十分条件でない」と判ることはありえません。