微分、積分について質問です。 g(x)=∫[0→x]f(t)dt これの両辺を微分すると、右辺はど

Question

微分、積分について質問です。

g(x)=∫[0→x]f(t)dt

これの両辺を微分すると、
右辺はどうなるのでしょうか？

右辺が不定積分なら、f(t)+C (Cは積分定数)
になると思うんですが、定積分だとどうなるのでしょうか？

masterkoto · Accepted Answer

右辺が不定積分なら、f(t)+C (Cは積分定数)
になると思うんですが、定積分だとどうなるのでしょうか？
＞＞＞積分して微分すればもとの関数に戻るので∫f(t)dtを微分すればf(t)に戻ります
具体的には、F'(t)=f(t)とすれば
∫f(t)dt＝F(t)+Cになりますが
これを微分するわけですから定数Cの微分は０で
∫f(t)dtの微分＝{F(t)+C}'=F'(t)+(c)'=f(t)+0=f(t)です

さて、定積分の場合はこの不定積分→微分の途中で代入という1工程が加わります

∫f(t)dt＝F(t)+C 
定積分なので　この結果にt=ｘとt=０を代入することになるので
 ∫[0→x]f(t)dt＝{F(x)+c}-{F(0)+c}=F(x)-F(0)です　（もっとも定積分なので通常はCを書きません）
F(0)はtに具体的数字を代入したものなので定数で、定数の微分は０だから{F(0)}'=0ですから
定積分したものの微分は　{F(x)-F(0)}'=F'(x)-0=f(x)です
すなわち g'(x)=∫[0→x]f(t)dtの微分＝f(x)です

この仕組みを理解すれば積分区間が０の代わりにaでも
∫[a→x]f(t)dtの微分はf(x)になることが分かるはずです・・・公式！

では∫x→af(t)dtではどうなるか考えてみてください・・・簡単ですよね！

springside · Answer

両辺をxで積分すると、

g'(x) = f(x)

となります。

証明：
f(x)の原始関数（積分したもの）の一つをF(x)とおくと、
g(x) = [F(t)][t=0→t=x]
=F(x)-F(0)

この両辺を微分すると、
g'(x) = F'(x)-0　（∵F(0)は定数）
=f(x)

ありものがたり · Answer

∫[0→x]f(t)dt という式は、不定積分 F(x) = ∫f(x)dx の中で
 F(0) = 0 となるような積分定数を持つものを指しています。
だから、(d/dx)∫[0→x]f(t)dt = f(x) です。

ありものがたり · Answer

＞ g(x)=∫[0→x] t*f(t)dt
＞ の場合の微分はどうなるでしょうか？

g(x)=∫[0→x] f(t)dt ならば
g’(x) = f(t) だというとき、f(t) は任意の関数であてはまります。
g(x)=∫[0→x] h(t)dt ならば
g’(x) = h(x) だということです。
これに h(t) = t f(t) を代入すれば、
g(x)=∫[0→x] ｔ f(t)dt ならば
g’(x) = x f(x) ということになりますね？

＞ 単純にtにxと０を代入したものを微分したという考えで良いのでしょうか？

そんなワケがありません。
単純に t に x と ０ を代入したものを微分するのではなく、
f(x) の原始関数 ∫f(t)dt に x と ０ を代入したものの差を微分するのです。
その結果は f(x) になります。

masterkoto · Answer

t・f(t)=v(t)とおけば先ほどと同じことです
g(x)=∫[0→x] t*f(t)dt=∫[0→x] v(t)dtの微分は
V(x)
もとの関数fにもどせば
V(x)=x・f(x)
ゆえに∫[0→x] t*f(t)dtの微分は　x・f(x)

springside · Answer

>>g(x)=∫[0→x] t*f(t)dt
>>の場合の微分はどうなるでしょうか？

x*f(x)を改めて、例えば、h(x)と置けば、

g(x)=∫[0→x] t*f(t)dt=∫[0→x] h(t)dt

となるから、同じこと。
g'(x)=h(x)=x*f(x)となる。

微分、積分について質問です。 g(x)=∫[0→x]f(t)dt これの両辺を微分すると、 右辺はど

両辺をxで積分すると、

右辺が不定積分なら、f(t)+C (Cは積分定数)

∫[0→x]f(t)dt という式は、不定積分 F(x) = ∫f(x)dx の中で

＞ g(x)=∫[0→x] t*f(t)dt

t・f(t)=v(t)とおけば先ほどと同じことです

>>g(x)=∫[0→x] t*f(t)dt

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