2log3分の1-3log6分の1 の答えを教えてください。

2log3分の1-3log6分の1
の答えを教えてください。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/28 14:37

何が「答え」かは難しいねえ。

何を答えろという出題なのだろう？
そういうとこをちゃんと問題文に書かずに、習慣で処理するから
学校数学ってキライ。「おやじ、いつもの」って、居酒屋じゃねんだから...

2 log(1/3) - 3 log(1/6) = log( (1/3)² / (1/6))³ ) = log( 2³ 3 ).
これを = 3 log(2) + log(3) で終わらせるか = log(24) で終わらせるか
は、出題が何を要求しているかしだいでしかない。
たぶん 3 log(2) + log(3) を要求しているような気はするけれどもね。

あるいは、実際に小数近似しろという出題であれば、
式に明記されてない log の底が必要になる。
常識的には、底が省略されれば自然対数だろうけれども。

電卓は反則として、対数表を利用するのは反則なんだか反則でないんだか。
いや、今どき関数電卓も反則じゃないのかもしれない、私の頃は計算尺も使ってた。
って、関数電卓だと 2 log(1/3) - 3 log(1/6) のままでも計算してくれるな...
そう考え始めると、ホントにきりがない。やはり、出題が悪いよ。

手計算でやるなら、log をテイラー展開して log(1+x) = x - (1/2)x² + (1/3)x³ - (1/4)x⁴ + ...
でも使おうか。
2 log(1/3) - 3 log(1/6) = 3 log(2) + log(3) = - 3 log(1/2) - log(1/3),
log(1/2) ≒ (-1/2) - (1/2)(-1/2)² + (1/3)(-1/2)³ - (1/4)(-1/2)⁴ = -131/192 ≒ -0.682,
log(1/3) ≒ (-2/3) - (1/2)(-2/3)² + (1/3)(-2/3)³ - (1/4)(-2/3)⁴ = -28/27 ≒ -1.037,
から
2 log(1/3) - 3 log(1/6) = - 3 log(1/2) - log(1/3) ≒ - 3(-0.682) - (-1.037) ≒ 3.083
電卓で検算してみると、精度 1 桁しかない。
実は、テイラー近似を ６ 項まで増やせば 2 桁、10 項まで増やせば 3 桁の精度が得られる。
この計算をする上では、3 log(2) + log(3) よりも - 3 log(1/2) - log(1/3) のほうが、
打ち切り誤差が少なく精度上有利になる。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/06/28 11:13

対数の 底 が書いてありませんので、常用対数とします。

2log(1/3)-3log(1/6)=2log(3⁻¹)-3log(6⁻¹)
=-2log3+3log(2*3)=-2log3+3log2+3log3
=log3+3log2 。
更に進めるならば、log3+3log2=log3+log8=log24 。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/28 10:48

式は正確に書いてください。

2log[e](1/3) - 3log[e](1/6)

でよいですか？　[e] は対数の底を表します。
つまり
　log[e](1/3) = t
とおけば「e の t 乗」を「e^t」と書けば
　e^t = 1/3
ということです。

1/3 = 3^(-1)　（３の -1乗）
1/6 = 6^(-1) = 2^(-1) × 3^(-1)　（６の -1乗）

であることもよいですか？

そして
　log[e](A･B) = log[e]A + log[e]B
　log[e](A/B) = log[e]A - log[e]B
　log[e](A^n) = n･log[e]A
ということもよいですね？

こういったものを使えば

2log[e](1/3) - 3log[e](1/6)
= -2log[e]3 + 3log[e]6
= -2log[e]3 + 3log[e](2･3)
= -2log[e]3 + 3(log[e]2 + log[e]3)
= log[e]3 + 3log[e]2

ここから先は、log[e]3 や log[e]2 の値が分からないとどうしようもできません。

あるいは
　= log[e]3 + log[e]2^3
　= log[e]3 + log[e]8
　= log[e]24
ですが、書き方が変わっただけです。

あなたの言う「答」とはどこまでのものですか？
数値が知りたければ、関数電卓などで計算してください。

log[e]24 = 3.178053･･･

といったところです。