数学の問題です。平行四辺形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺ADの中点をFとし、線分EDとFC

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質問者：aafffffaa
質問日時：2020/06/30 00:03
回答数：1件

数学の問題です。
平行四辺形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺ADの中点をFとし、線分EDとFCとの交点をPとする。
このとき、FP:PCはいくらか。

この問題について解法を教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： metabolian
回答日時：2020/06/30 01:29

ABの中点Ｅを通りADに平行な直線とFC、CDとの交点をそれぞれQ、Rとすると、

四角形AERD、四角形EBCRは平行四辺形。
（構成する2組の辺が平行。）
すると、Rは CDの中点になる。
さらに、△CDFと△CRQは相似。
（DF//RQより同位角が等しい。）
よって、CF:CQ = CD:CR=2:1
CQ:QF =1:1…①
（∵ CR=RD）
△FPDと△QPEも相似。
（DF//EQより錯角が等しい。）
よって、FP:PQ
= FD:EQ = FD:(ER-QR)
=1:(2-(1/2)) =1:3/2 =2:3。…②
①②より、
FP:PC=FP:(PQ+CQ)
=2:(3+(2+3)) （∵ CQ=QF=(5/2)FP）
=2:8=1:4。（答）
※「補助線」がうまく引けるかがポイント。