平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを３対2に内分する点をE対角線BDを３対５に内分する点をFとする。

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを３対2に内分する点をE対角線BDを３対５に内分する点をFとする。
このとき3点A、F、Eは一直線上にあることを証明しろ！


回答お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2020/09/06 00:10

ベクトルを使って証明したるよ！

図のように、AD↑＝d↑、AB↑＝b↑とする。
題意より、AF↑＝k・AE↑（ただし、kは実数）であればよい。実際そうなるかを探ってみる。

AF↑＝AB↑＋BF↑
＝AB↑＋(3/8)BD↑
＝AB↑＋(3/8)・（AD↑－AB↑）
＝b↑＋(3/8)・(d↑－b↑)
＝(5/8)b↑＋(3/8)・d↑

一方、AE↑＝AB↑＋BE↑
＝AB↑＋(3/5)・BC↑
＝AB↑＋(3/5)・AD↑
＝b↑＋(3/5)・d↑

よって、AF↑＝(5/8)b↑＋(3/8)・d↑＝(5/8)・{b↑＋(3/5)・d↑}＝(5/8)・AE↑が成立するので、
点A、F、Eは一直線上にあることが示された。

※上記の議論でわかるように、AF:FE＝5:3より、点Fは線分AEを5:3に内分する点であることがわかる。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
図もあってめちゃくちゃ分かりやすかったです。
助かりました

お礼日時：2020/09/06 01:45

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/09/03 11:14

次のように考えたら いかがでしょうか。

この問題を グラフで考える。
例えば、点B を原点として 点A を y=ax 上の点とする。
x 軸上に 適当に 点C を決めれば、各点の座標が決まりますね。
これなら、AE 上に 点F があることが 証明できませんか。