数Bのベクトルの問題です。 平行四辺形ABCDにおいて、 辺BCを3: 2に内分する点をE、対角線D

数Bのベクトルの問題です。 平行四辺形ABCDにおいて、 辺BCを3: 2に内分する点をE、対角線Dを3: 5に内分する点をFとする。このとき、3点A、F、Eは一直線上にあることを証明せよ。


やってみたのですが、手元に答えがなくて困っています。自分の解答にも自身がないので教えてください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/30 01:22

「対角線Dを3: 5に内分する点をF」→「対角線BDを3: 5に内分する点をF」ですね？

ベクトルを記号の前に「→」を付けて書けば、

　→AE = →AB + →BE = →AB + (3/5)→BC　　（１）
　→AF = →AB + →BF = →AB + (3/8)→BD　　（２）

平行四辺形なので
　　→AB = →DC
　　→BC = →AD
なので
　　→BD = →BA + →AD = -(→AB) + →BC
これを（２）に代入すれば
　→AF = →AB + (3/8)[ -(→AB) + →BC ]
　　　 = (5/8)→AB + (3/8)→BC
　　　 = (5/8) [ →AB + (3/5)→BC ]
　　　 = (5/8)→AE

よって、→AF は →AE と平行であり、「A」が共通なので→AF と →AE とは同一直線上にある。
従って、A, E, F は同一直線上にある。