位相空間論 X=R^n-{0}とし、通常の位相が入ってる。X/~には商位相が入ってる。S^(n-1)

位相空間論
X=R^n-{0}とし、通常の位相が入ってる。X/~には商位相が入ってる。S^(n-1)={x∈R^n | |x|=1}をn-1次元球面とする。i:S^(n-1)→Xを包含写像とする。π:X→X/~を射影とする。こ
のとき、j=π◦i: S^(n-
1)→X/~は連続であることを詳しく証明して頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/06 17:16

VをX/～の開集合とする

商位相の定義
「
π^(-1)(V)がXの開集合の時VはX/～の開集合という
」
から
π^(-1)(V)はXの開集合

j^(-1)(V)=i^(-1){π^(-1)(V)}=π^(-1)(V)∩S^(n-1)
相対位相の定義
「
X⊃S⊃Gに対してG=H∩SとなるようなXの開集合Hがある時GはSの開集合という
」
から
j^(-1)(V)=i^(-1){π^(-1)(V)}=π^(-1)(V)∩S^(n-1)
は
S^(n-1)の開集合だから
連続の定義
「
任意の開集合Vに対してj^(-1)(V)が開集合となる時jは連続という
」
から
jは連続である