この問題についての質問ですm(_ _)m ①x=±1 ②絶対値x＜1 ②絶対値x＞1 で場合分けする

この問題についての質問ですm(_ _)m

①x=±1
②絶対値x＜1
②絶対値x＞1

で場合分けするのはどうしてですか？？

教えてください( .. )汗

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/20 11:23

ｎ→無限をかんがえるとき

分子のx^2n-1＝(1/x)・(x²)^nについて
この(x²)^n部分と
分母の　x^2n=(x²)^nが
ともに「無限等比数列の極限」となるからです
テキストなどには　無限等比数列{r^n}の極限として
r>1のとき、r=1のとき　-1<r<1のとき、r≦-1のときにわけて解説されていると思いますが
今回はr=x²ですから　rが０未満になることはありません
・そして、x=1でもx=-1でも　ともにr=x²=1なので　x=+1とx=-1はともにr=1のケースとして一括して扱えます
・またたとえば、x=0.5でもx=-0.5でも r=0.5²=0.25なので　x=+0.5とx=-0.5はr=0.25のケースとして一括して扱える
拡張して　-1<x<1つまり|x|<1では　0≦r<1(-1<r<1)のケースとして一括して扱える
・同様に　x=+2,x=-2のとき　r=2²=4で　ともにr>1のケースとして扱えます
拡張して　|x|>1ではr>1のケースとして扱えます
そして　r=1(x=±１)では 無限等比数列の極限は＋１です
0≦r<1(|x|<1)では無限等比数列の極限は０です
r>1(|x|>1)では　極限は＋∞です　
だからこの3タイプに場合分けして考えることになるのです

No.1 回答者： springside 回答日時： 2020/07/20 10:14

理由：n→∞のときに、x^(2n)、x^(2n-1)がどうなるかを判断するため。

xの値をそのように分類しないと、上記の判断ができないでしょ。

x=1のとき、x^(2n)=x^(2n-1)=1
x=-1のとき、x^(2n)=1、x^(2n-1)=-1
|x|<1のとき、x^(2n)→0、x^(2n-1)→0（n→∞のとき）
|x|>1のとき、x^(2n)→∞、x^(2n-1)→±∞（ただ、この問題を解くためには、+∞、-∞の区別は不要）　（n→∞のとき）

つまり、関数f(x)は、x=±1のところで切れ目が生じうる（連続でなくなる可能性がある）ので、x=±1のところでうまく繋がるようにa,b,cを決めてやればいい。