慣性モーメントを使った問題です！解き方を教えてください。 静止している質量がMで半径がRの一様な球体

慣性モーメントを使った問題です！解き方を教えてください。

静止している質量がMで半径がRの一様な球体が水平と角度30°をなす斜面を転がり落ちた。斜面の下端に達したときの質量中心の加速度の大きさを求めよ。ただし、球体の質量中心まわりの慣性モーメントは2/5MR^2である。

答えは3.5m/s^2です。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/07/21 20:24

球体の重心に働く「重力の斜面方向の成分」は

　Mg*sin(30°) = (1/2)Mg　　　　①

斜面と球体とが滑らなければ、球体と斜面が接する部分には摩擦力 f が斜面上向きに働く。

従って、①の力の一部は重心の並進運動を加速し、一部は回転運動を加速する。
重心の加速度を a、回転運動の角速度を ω とすると、
・重心の並進運動の運動方程式は
　(1/2)Mg - f = Ma　　　　　②
・回転運動の運動方程式は
　fR = I*dω/dt　　　　　　　③

ω = v/R、また慣性モーメントは I = (2/5)MR^2 なので、③は
　fR = (2/5)MR*dv/dt
→　f = (2/5)M*dv/dt
ここで dv/dt = a なので
　　f = (2/5)Ma

これを②に代入して
　(1/2)Mg - (2/5)Mg = Ma
→　(7/5)a = (1/2)g
よって
　a = (5/14)g

g = 9.8 [m/s^2] を使えば
　a = (5/14) * 9.8 = 3.5 [m/s^2]