群論の問題についてです。 実数全体のなす加法群Rを考える。以下の部分集合がRの部分群かどうか示せ。

群論の問題についてです。
実数全体のなす加法群Rを考える。以下の部分集合がRの部分群かどうか示せ。
(1)0以上の実数全体のなす部分集合X
たとえば、有理数a=m/n, b=p/n (m,n,pは0以上の整数)とおくと、a+b= (m+p)/nはXに属する
-a = (-m)/nはXに属する
よってRの部分群である。
(2) 無理数全体のなす部分集合Y
x=aπ, y=bπとすると
x+y = π(a+b)はyに属さない
これは既約分数として表せないので無理数はRの部分群ではない
(3) Z= { a+b√2はRに属する | a,bはRに属する}
これはRの部分群である。
なぜなら、(a+b√2)+(-a-b√2)=0はQに属する
となり、逆元が有理数で表せるため、ZはRの部分群である。

自分なりに解答したのですが、間違えてるところはありますでしょうか？間違えていたらどこが間違えているのか教えてほしいです。よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/23 09:28

(1)

部分群でない。
逆元が存在しない場合がある。
例えば、1 の(Rでの)逆元 -1 は 0 以上の実数ではない。
(2)
部分群でない。
加法について閉じていない。
例えば、無理数 √2 と -√2 の和 0 は有理数である。
(3)
部分群である。
a+b√2, A+B√2 ∈ Z について、
(a+b√2) + (A+B√2) = (a+A)+(b+B)√2.
a+A, b+B ∈ R のため (a+b√2) + (A+B√2) ∈ Z である。
すなわち、加法について閉じている。
a+b√2 について、
(a+b√2) + (-a-b√2) = (a-a)+(b-b)√2 = 0,
-a-b√2 ∈ Z であり、逆元が Z の中に存在している。

あなたの答案は、
(1)　「(-m)/nはXに属する」がウソである。
(2)　何を言ってるのか全く判らない。
(3)　演算が閉じていることを述べていない。
　　逆元については何を言ってるのか全く判らない。
点に問題がある。

この回答へのお礼

分かりやすい解答、ありがとうございました！

お礼日時：2020/07/24 10:19