以下の極限が0になるのですが、何故だかわかりません。 lim［x→+∞］x^2・e^ax 極限の基本

以下の極限が0になるのですが、何故だかわかりません。
lim［x→+∞］x^2・e^ax

極限の基本的な問題とは存じていますが、ご教授お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/14 14:46

実際に確かめてもらえば分かるが　指数関数は整関数にくらべて大きくなるスピードがとても早い

例えば　3^xはx^3に比べて速い速度で大きくなる
x=1では、3^x=3,x^3=1
x=２では　3^x=9,x^3=8
x=3では　3^x=27,x^3=27　　
x=4では　3^x=81,x^3=64 　
x=5では　3^x=243,x^3=125 　
x=6では　3^x=729,x^3=216 　←←←差がどんどん大きくなっている
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といった具合に

ゆえに　仮にa=2なら
x^2は無限大に発散
e^2xは　x^2に輪をかけて無限大に発散
lim［x→+∞］x^2・e^ax→∞ｘ∞だから　無限大に発散となります

もしa=-2なら
lim［x→+∞］x^2・e^ax＝lim［x→+∞］x^2/e^2x→∞/∞で一見不定形ですが
先ほど確認したように　指数関数である分母の増大スピードが、整関数である分子の増大スピードを凌駕しているので
分母はスーパー無限大、分子はそこそこ無限大　となり
分母の大きさが勝るので
lim［x→+∞］x^2/e^2x=0という予想がつきます。

ゆえにaによりけりで極限が違ってきます

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます。

お礼日時：2020/08/16 11:47

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/14 15:35

実験しても数学では意味がないので、

a>0 のとき lim［x→+∞］e^(ax) が lim［x→+∞］x^2 よりもずっと大きいことを
計算で示してみよう。
e^x のテイラー展開が e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + (1/24)x^4 + ....
x>0 のとき右辺の各項は正だから、e^x > (1/6)x^3
(1/6)x^3 より大きければ、 x が大きいとき x^2 よりもずっと大きい。
テイラー展開を知らなければ、
f(x) = e^x - { 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 } を微分して増減表を書いても示せる。

このため、
a>0 のとき lim［x→+∞］x^2・e^ax > lim［x→+∞］x^2・(1/6)(ax)^3 = lim［x→+∞］(a^3/6)x^5 = +∞,
a=0 のとき lim［x→+∞］x^2・e^ax = lim［x→+∞］x^2・e^0 = lim［x→+∞］x^2 = +∞,
a<0 のとき lim［x→+∞］x^2・e^ax = lim［x→+∞］x^2/e^(|a|x) = lim［x→+∞］x^2/{ (1/6)(|a|x)^3 } = lim［x→+∞］{1/(6|a|^3)}・1/x = 0.
となる。
極限が 0 になるのは、a<0 の場合だけです。

No.3 回答者： angkor_h 回答日時： 2020/08/14 14:48

lim［x→+∞］x^2　=＋∞

lim［x→+∞］e^ax　e>1としたとき、
　a>1であれば=＋∞、a<1であれば1/＋∞

なお、＋∞と1/＋∞における両「+∞」の大小比較はないので、
いずれにしても「0」はないはずです。

No.1 回答者： じろう123456785 回答日時： 2020/08/14 14:27

aの値によりますよ