二階微分方程式

P　(d^2y/dx^2)+2*(dy/dx)-15y=e^3x
Pの特殊解yp(x)はどうなりますか？答えと解説が知りたいです。

質問者からの補足コメント

• Aは求めることができていたのですが、Bが答えが合いません。大変厚かましいですが、Bの解き方も教えていただけないでしょうか。
  答えは(-1/64)*e^3xです

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/18 10:49

• 特殊解の答えが(1/8)*x*e^3x-(1/64)*e^3xなのですが、1/8は出せたのですが、-1/64はどうやったら出せますか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/08/18 13:10

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/18 14:26

No.2 です。

「補足」に書かれたことについて。

＞特殊解の答えが(1/8)*x*e^3x-(1/64)*e^3xなのですが、

そのまま与方程式に代入すれば成立しますから、特殊解のひとつであることは間違いありません。

ただし、「-(1/64)*e^3x」の方は、斉次方程式の一般解

　y = C1*e^(-5x) + C2*e^(3x)

の中に含まれるので、わざわざ特殊解に含める必要はないと思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/18 13:04

＞Aは求めることができていたのですが、Bが答えが合いません。

その「A」とか「B」って何ですか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/18 10:27

斉次方程式の一般解を導き出した後で、それに加える「特殊解」をどうやって探すか、ということが聞きたいのかな？

斉次方程式
　(d^2y/dx^2) + 2*(dy/dx) - 15y = 0
の一般解の求め方は大丈夫ですね？

特性方程式が
　λ^2 + 2λ - 15 = 0
→　(λ + 5)(λ - 3) = 0
で「2つの実数解」をもつので、
　y = C1*e^(-5x) + C2*e^(3x)
になります。

非斉次式の特殊解は、偶然でもなんでもよいので「ひとつめっけ！」すればいいんですよ。
右辺が指数関数だから、多分 y も指数関数だろうということで
　y = e^(kx)
とおいても、多分 k=-5, 3 になってしまって一般解に含まれそう。
ということで、
　y = Ax*e^(3x)
などとおいてみると
　y' = A*e^(3x) + 3Ax*e^(3x) = A(1 + 3x)e^(3x)
　y'' = 3A*e^(3x) + 3A(1 + 3x)e^(3x) = 3A(2 + 3x)e^(3x)
より、非斉次式は
　3A(2 + 3x)e^(3x) + 2A(1 + 3x)e^(3x) - 15Ax*e^(3x) = e^(3x)
→　A[8 + 0*x*e^(3x)] = e^(3x)
→　8A*e^(3x) = e^(3x)
よって
　A = 1/8
なので
　y = (1/8)x*e^(3x)
は「特殊解のひとつ」であることがわかります。

このように、特殊解は「たまたま見つかった一つの解」でよいのです。
勘所は、こんなサイトを参考に。
https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/differ_e …