電荷保存則をマクスウェル方程式の積分系から導くことは不可能でしょうか？ 出来ればガウスの定理等は使わ

電荷保存則をマクスウェル方程式の積分系から導くことは不可能でしょうか？
出来ればガウスの定理等は使わずにつまりマクスウェル方程式の微分系を経由せずに導けたらなと思っています。
最終的には電流密度の面積分＝－電気量の時間変化の式にしたいです

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/08/20 20:37

意味がよく分かりませんが、テキトー。

電荷保存則
∫[S]i・dS=-dQ/dt・・・・・・・①

マクスウェルの式
∲[C]H・dl=∫[S]i・dS+(d/dt)∫[S]D・dS・・・・・②
∫[S]D・dS=Q・・・・・・③

①のSは閉曲面。したがって、S上の閉曲線[C]をとり、これによって分断される曲面をS₁, S₂とする。
Sの法線をSの閉曲面に対して外向きに取った場合、S₁の向きに対するCをC₁とする。すると、S₂に
対するCをC₂とすると、C₁とC₂の向きは逆になってる。

②をS₁、S₂に適用すると、それぞれ
∲[C₁]H・dl=∫[S₁]i・dS+(d/dt)∫[S₁]D・dS
∲[C₂]H・dl=∫[S₂]i・dS+(d/dt)∫[S₂]D・dS
となり、これ等を加えると左辺は
∲[C₁]H・dl+∲[C₂]H・dl=∲[C₂]H・dl+∲[-C₁]H・dl=∲[C₂]H・dl-∲[C₁]H・dl=0

右辺は➂を使って
∫[S₁]i・dS+(d/dt)∫[S₁]D・dS+∫[S₂]i・dS+(d/dt)∫[S₂]D・dS
=∫[S]i・dS+(d/dt)∫[S]D・dS=∫[S]i・dS+(d/dt)Q
となり、結局

0=∫[S]i・dS+(d/dt)Q
となり、これは求める式①となる。


なお、蛇足であるが、重大な誤解があるかもしれないので。
マクスウェルの式から、電荷保存が導かれるのではない。電磁気学の法則はマクスウェルの式以前に
電荷保存という法則が前提としてある。だから、マクスウェルの式から電荷保存が導かれても当然と
いうか電磁気学は矛盾していないね（よかった）、と言うだけの話になる。

歴史的にも、電荷保存を満たすようにマクスウェルの式が作られたのは有名な話。

そして、杜撰な物理学（物理量の定義をしない。仮定・法則を述べない、順序を明確にしない）のた
め、このような話は散見して陳腐な議論がなされていることに注意が必要である。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
証明は全て終えたのですがなんだか騙された感じがしますね、、^^;
同じ閉曲面なのに閉曲面を分割して考えると磁場の循環が消えてしまうというのは腑に落ちませんね。何はともあれありがとうございました。

お礼日時：2020/08/21 10:25

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/08/21 21:05

∲[C₁]H・dl+∲[C₂]H・dl=∲[C₁]H・dl+∲[-C₁]H・dl=∲[C₁]H・dl-∲[C₁]H・dl=0

の間違いでした。

>騙された感じがしますね、、^^;　・・・・腑に落ちませんね。<
ますます、意味不明だ。訳が分からん。

∫[a→b] = - ∫[b→a]
も、「騙された感じがして、腑に落ちないまま、なんですねぇ」。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
一般的にはどんな閉局面でも電場の流束の変化と電流の流束があれば縁に地場の循環が存在してしまうはずでそれが閉曲面のとり方を工夫するだけできえてきまうというのが定性的に理解し難いということです。定量的にはこうなると数学が教えてくれているので理解出来ましたので問題は無いのですが。

お礼日時：2020/08/25 13:25