点Oを中心とする円Oと直線l について 直線l が円O上の点Aにおける接線ならば、直線l と円Oの共

点Oを中心とする円Oと直線l について

直線l が円O上の点Aにおける接線ならば、直線l と円Oの共有点はA のみであることを示せ。

この証明についてお教えくださいお願いいたします。

No.2 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/08/21 08:09

A以外の共有点をBとします。

△OABはOA=OBから二等辺三角形
仮定より、∠OAB=90°なので、
△OABは∠Aが直角、OBが斜辺の直角三角形
OA<OBよりOA=OBに反する。
よって、直線l上の点Aが円Oの接点であるとき、直線lは円O上の点A以外の共有点は存在しない。

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/08/21 04:45

うーん、例えば、だ。

> 点Oを中心とする円O

ってんで、一応半径rとして、だ。円の式は

x^2 + y^2 = r^2

になる。xについて微分すれば

2*x + 2*y*y' = 0
x + y*y' =0
∴ y' = -x/y (ただしy≠0)

になる、と。これが円Oの接線の傾きになる、と。
y = 0のケースではy軸に平行な直線になり、x = rないしはx=-rでしか接しないので良し、とする。
次に、y≠0円O上の点A、(x_a, y_a)を考える、と。条件によりx_a^2+y_a^2=r^2になると。
そうすると点Aにおける接線lは

y = -(x_a/y_a)*x + (r^2)/y_a

にならざるを得ない、と。
そうすれば、任意の点B、(x_b, y_b)を考えた時、こいつがl上にあるとして、点A以外でx_b^2+y_b^2 = r^2を満たすような状況が存在するかどうか計算で確かめてみれば良い、って話になるんじゃないでしょうか。

あとは計算はメンド臭いんでお任せします(笑)。