高校数学 積分

不定積分　∫５x/(x-1)^2 dx

に関してなんですけど、参考書の答えが部分積分を用いて、-5x/(x-1)+log|x-1|+Cとなっていました。
自分がそれを見る前に解いた方法は

与式＝５∫(x-1)+1/(x-1)^2dx=5∫1/(x-1)dx+5∫1/(x-1)^2dx=5log|x-1|-5/(x-1)+C
です。
最後違う答えになったんですけど、私のやり方は間違っていますか？
どちらも微分したら同じになったんですけど。。。

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/29 16:38

>定積分のときはいつも一定ですよね

定積分なら、答えは一意に定まる。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/29 07:40

>参考書の答えは-5x/(x-1)+５log|x-1|+Cでした。

logの前に5がありました。これでは、どうですか？

それなら合うね。

-5x/(x-1) + 5log|x-1| + C
=-5(x-1+1)/(x-1) + 5log|x-1| + C
=-5(x-1)/(x-1) - 5/(x-1) + 5log|x-1| + C
= -5 - 5/(x-1) + 5log|x-1| + C
=-5/(x-1) + 5log|x-1| + (C-5)

になるので、-5を積分定数に包含すれば、質問者の答えと同じになる。

今回のように、不定積分は積分定数のとりかたで導出される答えの表現が変わることがある。
検算して、合っていれば問題ない。

この回答へのお礼

ありがとうございます。そうしたケースがあるとは知りませんでした。知らないうちに解いていたかもしれませんが、、。定積分のときはいつも一定ですよね

お礼日時：2020/08/29 15:29

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/29 01:18

x/(x-1) = 1+1/(x-1) だから, -5x/(x-1) + 5 log |x-1| + C と 5 log |x-1| - 5/(x-1) + C は積分定数の違いを除いて同じ.

不定積分は積分定数のとりかたによって見た目の違う式になることがある.

この回答へのお礼

ありがとうございます。恥ずかしながらそうした場合があることを知りませんでした、、。どちらも正解になりますか？定積分のときはいつも一定になりますよね、、

お礼日時：2020/08/29 15:28

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/29 00:46

参考書の答えが間違っていて、質問者の答えのほうが正しい。

参考書の答えを検算すると、

(-5x/(x-1) + log|x-1| + C)'=-5/(x-1) + 5x/(x-1)^2 + 1/(x-1)
=5x/(x-1)^2 - 4/(x-1)
=5x/(x-1)^2 - 4(x-1)/(x-1)^2
=(x+4)/(x-1)^2

となり、与式と合わない。

ちなみに、質問者は途中式を書き間違えている。

誤：∫5x/(x-1)^2 dx=5∫(x-1) + 1/(x-1)^2 dx
正：∫5x/(x-1)^2 dx=5∫ 1/(x-1) + 1/(x-1)^2 dx

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。申し訳ございません。参考書の答えは-5x/(x-1)+５log|x-1|+Cでした。logの前に5がありました。これでは、どうですか？

ちなみに、その参考書（すみません、実は学校のプリントです）によれば、

与式＝5x[-(x-1)^-1]-∫-(x-1)^-1・5dx=-5x/(x-1)+5In|x-1|+C
となっていて、確かに部分積分になっているんですよね、、、

お礼日時：2020/08/29 00:57